Número primo

Subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto que no son divisibles por más números naturales que él mismo y 1. Los 10 primeros números primos serían:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Ver: números naturales primos

Nótese el hecho de que todos los números naturales son divisibles por si mismos y 1 (excepto 0 en el caso de que se considere en este conjunto, pues ningún número es divisible entre 0)

Teorema fundamental de la aritmética

Un resultado importante relacionado con los números primos es el teorema fundamental de la aritmética que establece que cualquier número natural puede ser expresado como el producto de números primos y solo de una forma. De este modo los números primos serían los "constituyentes fundamentales" de los números naturales. Por ejemplo el número 23244 se puede escribir como:

23244 = 2²·3·13·149.

Sobre la cantidad de números primos existentes

El Teorema de Euclides prueba que existen infinitos números primos. Además se sabe que no hay límite para la distancia entre dos primos consecutivos, esto es, dado un número N, se puede encontrar dos números primos tales que entre ellos dos no hay otros números primos y su diferencia es mayor que N.

Aunque no se ha podido probar hasta la fecha, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p1=p2+2 (siendo p1 y p2 primos) o primos gemelos. Sí se ha probado que los únicos "primos trillizos" (primos de la forma p1=p2+2 y p2=p3+2) son 3, 5 y 7.

Propiedades de los números primos

• Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisisor de a o de b.

• Si p es primo y a es algún número entero, entonces a^p - a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat)

• Un número p es primo si y solo si el factorial (p - 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson)

• Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. (Postulado de Bertrand)