Número natural primo

Definición

Número primo es aquel que solo es divisible por el mismo y la unidad.

El 1 será primo ya que no lo puede dividir nadie nada más que el. El 2 solo lo divide el mismo y 1. El 3 no lo divide 2, pero lo divide 1 y el mismo. Con el 4 se ve que lo divide 1,2 y 4 no será primo sino número compuesto.

Los enteros negativos son un reflejo de los enteros positivos, por consiguiente, el estudio de estos números se efectua dentro del campo de los números naturales.

Otras definiciones

Números primos entre si son aquellos que, en global, no tienen ningún divisor común excepto la unidad.

Los números primos son primos entre si, pero algunos compuestos también los son como 44, 33, 55, 45, ..etc. Notese que 44,33,55 y 45 son primos entre si pero no son 55 y 45 ya que son divisible por 5 y 33 y 55 tampoco ya que son divisibles por 11.

Números primos entre si dos a dos son aquellos donde cada uno es primo con cada uno de los demas. Así 33, 8, 7 y 55 son primos entre si ya que cada uno es primo entre si con los demas.

Propiedades operativas básicas de primos

Para mejor compresión de estas propiedades ver el tema de Operaciones con pares e impares.

1-Todo número primo es impar, a excepción del 2. Esto es lógico ya que si hubiera primos en entre los pares, entrariamos en contradición, ya que un múltiplo de 2 no puede ser primo.

2-La suma o resta de dos primos superiores a 2 dará un número par. Esto es lógico ya que la suma o resta de dos impares dará un par.

3-El producto del 2 por cualquier número de la serie natural dará un número par.

4-El producto de dos primos superiores a 2 dará un número impar y múltiplo de solo esos factores. Esto es lógico ya que el producto de dos impares dará un impar

5-El total de un producto de números primos solo será divisibles por ellos. Esto es lógico ya que un número primo no tiene divisores y si lo multiplicamos por otro primo solo tendrá como divisores los mencionados factores.

6-Dos productos distintos, de números primos, no serán divisibles el uno por el otro. Esto es lógico ya que ninguna estructura global de factores del divisor está exactamente contenida en la estructura global del dividendo.

7-La potenciación de un número primo solo será divisible por potencias inferiores al exponente al que elevamos al primo.

Sea $P^n=PxPxP$...etc N veces, luego lo dividirá $P^2$, $P^3$...etc $P^n$ ya que estas estructuras estan dentro de $P^n$ y según la propiedad 5 no habrá ningún factor más.

8-La radicación de un número primo nunca será exacta. Es lógico ya que si fuera exacta exitiría una raiz que dividiría al radicando, cosa imposible, ya que el radicando es primo.

Propiedades fundamentales de primos

1-Todo número compuesto es igual a único producto de números primos.

DEMOSTRACIÓN:

Sea N es un número compuesto divisible por A dando N=AxB, si A y B son primos el enunciado está demostrado, si uno no lo fueran tendriamos A=CxD donde N=AxB=(CxD)xB si C,D y B fueran primos el principio está demostrado y así continuarimos con todos los factores compuestos hasta llegar a los número más pequeños 1,2 y 3 que son primos.

2-La serie consecutiva de números primos es infinita.

DEMOSTRACIÓN:

Si suponemos que es finita, tendremos que el producto consecutivo de todos los primos finitos es igual a AxBxCxD....etc=T donde los divisores de T solo serán los primos que lo componen, luego si a T le sumamos la unidad tendremos que T+1=H y H sera primo ya que todos los factores dividen a T pero no a 1, según la divisibilidad de la suma; luego la serie de número primos es infinita

3-Si un número divide a un producto de dos factores y uno de ellos es primo, el otro es divisible por el mencionado número.

DEMOSTRACIÓN:

Sea A y B primos, un número C y un producto AxB=T, se verifica que T solo es divisible por A y B. Si T fuera divisible por C y A fuera primo logicamente B seria divisible por C ya que sino se contradice con la propiedad básica 5 explicada arriba.

Propiedades de los primos entre si

1-Si varios números son primos entre si dos a dos también serán primos entre si, pero no a la inversa. Es lógico que si cada número no tiene con cada uno de los otros ningún factor común, no lo tengan todos en general.

Ejemplo: Son primos entre si dos a dos el 5,7,11 y 13 pero no son primos entre si dos a dos 5,10,11 y 22 ya que 5 y 10 tienen el divisor común 5 y 11 con 22 tienen el 11; pero todos juntos no los divide nada más que la unidad.

2-Dos o más números primos son primos entre si. Esto es lógico ya que ningún primo tiene divisores diferentes de el mismo y 1.

3-Un número primo y otro compuesto serán primos entre si, cuando el producto representativo del número compuesto no contenga al primo.

DEMOSTRACIÓN: Sea el primo A y el compuesto B cuyo producto de factores primos es CxDxH, entonces B/A=(CxDxH)/A donde A no dividira a CxDxH según el criterio general de divisibilidad por no estar A incluida en CxDxH.

4-Dos números compuestos serán primos entre si cuando el producto de factores primos del menor no este contenido en el del mayor. Es lógico según el criterio general de divisibilidad y de la indivisibilidad de las fracciones irreducibles.

5-Las potencias de dos números primos son primos entre si.

DEMOSTRACIÓN:

Sea A y B son números primos que elevamos a N, entonces tendremos que $A^n/B^n$=(AxAxA...N veces)/(BxBxB...N veces) y como el divisor no tiene ningún factor común al dividendo serán primos entre si.

6-Si dos números los dividimos por su máximo común divisor los cocientes son primos entre si.

DEMOSTRACIÓN:

Sea A y B dos números compuestos, que tienen un máximo común divisor, y su descomposición en primos son: A=CxDxHxI y B=CxDxJxK. El máximo común divisor sería el producto (CxD) y los cocientes de A/(CxD)=HxI y B/(CxD)=JxK donde (HxI)/(JxK) no son divisibles según el criterio general de divisibilidad y por tal motivo serán primos entre si.

Como saber si un número es primo

Si dado un número cualquiera A, si se desea saber si es primo, se puede proceder según el siguiente algoritmo:

1-Si su cifra final es par o 5 no será primo (excepto el 5) ya que los pares son múltiplos de 2 y los terminados en 5 lo son de este.

2-Si tiene raiz cuadrada exacta no será primo y si no la tiene se tomará la raiz cuadrada natural más aproximada. Si tuviera raiz cuadrada dicho número A su raiz dividiría a A y no sería primo.

3-Se ira dividiendo A por los números inferiores a la raiz cuadrada más aproximada que terminen en 1,3,7 y 9 y si no encontramos un divisor, A es primo. Esto es lógico ya que un impar (los primos son impares) no lo puede dividir un par al ser Impar/Par una división inexacta según operaciones con pares e impares

Ejemplo: ¿El número 101 es primo?

No acaba en 2 ni en 5 entonces puede ser primo

Su raiz cuadrada no es exacta y la más proxima es 10 entonces puede ser primo.

Los números inferiores a 10 que acaban en 1,3,7,9 son: 3,7 y 9 como ninguno divide a 101, luego será primo.

Como hallar una serie consecutiva de primos

Algunos algoritmos son:

1-Análisis consecutivo de los impares.

Una vez sabído que 1,2,3 y 5 son primos se procede al análisis de los impares, según el criterio para saber si un número es primo, explicado arriba.

2-Utilizar la criba de Eratóstenes.

Se escriben todos los números comprendidos entre 1 y el número al que deseemos llegar en el análisis y luego se procede así:

Se tachan los multiplos de 2 que son los pares y quedan inicialmente sin tachar 1,2 y 3 que son primos.

Se tachan los múltiplos de 3 y el número más bajo no tachado superior a 3 es 5, que es primo.

Se tachan los múltiplos de 5 y el último número no tachado superior a 5 es 7 que es primo.

Se tachan los múltiplos de 7 y el último número no tachado superior a 7 es 11 que es primo y se continua así sucesivamente hasta llegar al tope fijado.

Descomponer un número en factores primos

Si un número A es compuesto y se desea saber cual es el producto de factores primos que lo define, se procede así:

Se busca su raiz cuadrada exacta o aproximada y se procede a dividir A por todos los primos inferiores a su raiz cuadrada, empezando por el menor, hasta hayar un cociente exacto. El primo divisor será el primer factor primo.

El cociente obtenido se vuelve a repetir el proceso anterior hasta llegar a un cociente primo.

Todos los cocientes obtenidos forman el producto de números primos que multiplicados dan A.

Ejemplo: 462 su raiz cuadrada aproximada es 21 y se procede a comprobar si 2,3,5,7,11,13,17 y 19 son divisores de 462. Al dividir por 2 resultando 462=2x(231).

Hayamos la raiz cuadrada de 231 que es 15 y se procede a comproban si es divisible 231 por 2,3,5,7,11 y 13. No es divisible por 2 pero 3 da como resultado 231=3x(77).

Hayamos la raiz cuadrada de 77 que es 8 y se procede a dividir por 2,3,5 y 7. No es divisible por 2,3 y 5 pero 7 lo divide dando 77=7x(11) y como 11 es primo se termina el proceso, dando lugar a que 462=2x3x7x11

Referencias

Bibliografía

• Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
• Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
• González Aguilar. Matemáticas. 
  

Otras fuentes de información

• Artículo sobre números primos en Wikipedia.

Notas