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Número natural

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Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto.

Algunos matemáticos (especialmente los de teoría de números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de teoría de conjuntos, lógica e informática, tienen la postura opuesta. En esta enciclopedia, cero es considerado un número natural.

Aunque cualquier niño pequeño entendería qué conocemos por números naturales, su definición no es sencilla. Los axiomas de Peano describen de manera unívoca el conjunto de los números naturales, que se denota por \mathbb{N} (o por el carácter informático unicode ℕ si su navegador puede mostrar caracteres unicode), de la siguiente forma:

  • Sea el número natural 0
  • Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1.
  • No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 0.
  • Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si ab, entonces a+1≠b+1.
  • Una propiedad que se cumpla para el 0 y para el sucesor de cualquier número para el cual también se cumpla, se cumple para todos los números naturales.

Este último postulado asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción.

En teoría de conjuntos es común definir cada número natural como el conjunto de todos los números naturales anteriores a él. Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto (será mayor el número que mas números contenga), a pesar de un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados.

Es posible definir por inducción la suma mediante la expresión:

a + (b + 1) = (a + b) + 1

Lo que convierte al conjunto de los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo con 0 como elemento neutro, precisamente el monoide libre de un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por tanto puede ser ampliado a un grupo. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación, ×, puede ser definida de la forma siguiente: a × (b + 1) = (a × b) + a. Normalmente el símbolo "×" se omite y cuando se tienen dos números sin ningun símbolo entre ellos se sobreentiende la operación de multiplicación entre ellos. Esto convierte (ℕ, ×) [esto es, ℕ con esta nueva operación], en un monoide conmutativo; suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se expresa como sigue:

a × (b + c) = ab + ac.

Encontramos que los números naturales están totalmente ordenados. Lo comprobamos escribiendo ab si y sólo si existe otro número natural c que cumpla la igualdad: a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas de esta manera: si a, b y c aon números naturales y ab, entonces a + c <= b + c y acbc

Una propiedad importante de los números naturales es que tienen un buen orden: esto es, cualquier conjunto compuesto de números naturales tiene un elemento mínimo (uno más pequeño que los demás).

Mientras que en general no es posible dividir un número natural entre cualquier otro y que esta operación resulte un número natural; tenemos algo parecido a la división: para cualesquiera dos números naturales aa y b, con b distinto de 0 , podemos encontrar otros naturales q y r tales que

a = bq + r    y    r < b.

Al número q se le denomina cociente y a r se le denomina resto de esta división de a entre b. Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Los números naturales son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de cardinal. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a ℕ así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos no son el mismo.


Conjuntos de números:
\mathbb{N}Números naturales - \mathbb{Z}Números enteros - \mathbb{Q}Números racionales - Números irracionales - \mathbb{R}Números reales - \mathbb{C}Números complejos