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Número entero

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Los números enteros son una extensión de los números naturales (0, 1, 2...) incluyendo los números enteros negativos (-1, -2, -3...). El conjunto de los números enteros se representa mediante el símbolo $\mathbb{Z}$ (del alemán Zahlen, número). Los números enteros son subconjunto de los números racionales (los quebrados).

Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

a + x = b

para la incognita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, ( $\mathbb{Z}$ ,+,*) constituye un anillo conmutativo.

Por otro lado $\mathbb{Z}$ es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior.

Los números enteros cumplen los siguientes axiomas, para todo a, b, c pertenecientes a $\mathbb{Z}$ :

Axioma 1. Operaciones internas:
- a+b pertenece a $\mathbb{Z}$
- a*b pertenece a $\mathbb{Z}$
Axioma 2. Propiedades asociativas:
- (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
- (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
Axioma 3. Propiedades conmutativas:
- a+b = b+a
- a*b = b*a
Axioma 4. Elementos neutros:
- Existe un elemento 0 perteneciente a $\mathbb{Z}$ tal que a+0 = 0+a = a, para odo a perteneciente a $\mathbb{Z}$
- Existe un elemento 1 perteneciente a $\mathbb{Z}$ tal que a*1 = 1*a = a, para odo a perteneciente a $\mathbb{Z}$
Axioma 5. Existencia de opuestos:
- Existe -a tal que a+(-a) = (-a)+a = 0
Axioma 6. Propiedad cancelativa:
- a*b = a*c y a no es 0, implica que b = c
Axioma 7. Propiedad distributiva:
- a*(b+c) = a*b+a*c
Axioma 8. Propiedad reflexiva:
- a ≤ a
Axioma 9. Propiedad antisimetrica:
- a ≤ b y b ≤ a, implica que a = b
Axioma 10. Propiedad transitiva:
- a < b y b < c, implica que a < c
Axioma 11. Propiedad de la buena ordenación.
- Sea S un subconjunto no vacio de $\mathbb{Z}$ , acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.
Axioma 12.
- c > 0 y a ≤ b, implica que a*c ≤ b*c
- a ≤ b, implica que a+c ≤ b+c para todo c perteneciente a $\mathbb{Z}$

Conjuntos de números:
$\mathbb{N}$ Números naturales - $\mathbb{Z}$ Números enteros - $\mathbb{Q}$ Números racionales - Números irracionales - $\mathbb{R}$ Números reales - $\mathbb{C}$ Números complejos