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Número entero

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Los números enteros son una extensión de los números naturales (0, 1, 2...) incluyendo los números enteros negativos (-1, -2, -3...). El conjunto de los números enteros se representa mediante el símbolo (del alemán Zahlen, número). Los números enteros son subconjunto de los números racionales (los quebrados).

Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

a + x = b

para la incognita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, (,+,*) constituye un anillo conmutativo.

Por otro lado es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior.

Los números enteros cumplen los siguientes axiomas, para todo a, b, c pertenecientes a :

  • Axioma 1. Operaciones internas:
    • a+b pertenece a
    • a*b pertenece a
  • Axioma 2. Propiedades asociativas:
    • (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
    • (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
  • Axioma 3. Propiedades conmutativas:
    • a+b = b+a
    • a*b = b*a
  • Axioma 4. Elementos neutros:
    • Existe un elemento 0 perteneciente a tal que a+0 = 0+a = a, para odo a perteneciente a
    • Existe un elemento 1 perteneciente a tal que a*1 = 1*a = a, para odo a perteneciente a
  • Axioma 5. Existencia de opuestos:
    • Existe -a tal que a+(-a) = (-a)+a = 0
  • Axioma 6. Propiedad cancelativa:
    • a*b = a*c y a no es 0, implica que b = c
  • Axioma 7. Propiedad distributiva:
    • a*(b+c) = a*b+a*c
  • Axioma 8. Propiedad reflexiva:
    • aa
  • Axioma 9. Propiedad antisimetrica:
    • ab y ba, implica que a = b
  • Axioma 10. Propiedad transitiva:
    • a < b y b < c, implica que a < c
  • Axioma 11. Propiedad de la buena ordenación.
    • Sea S un subconjunto no vacio de , acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.
  • Axioma 12.
    • c > 0 y ab, implica que a*cb*c
    • ab, implica que a+cb+c para todo c perteneciente a


Conjuntos de números:
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