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Número entero

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Los números enteros son una extensión de los números naturales (0, 1, 2...) incluyendo los números enteros negativos (-1, -2, -3...). El conjunto de los números enteros se representa mediante el símbolo \mathbb{Z} (del alemán Zahlen, número). Los números enteros son subconjunto de los números racionales (los quebrados).

Los números enteros pueden ser sumados y restados, multiplicados y comparados. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

a + x = b

para la incognita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, (\mathbb{Z},+,*) constituye un anillo conmutativo.

Por otro lado \mathbb{Z} es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior.

Los números enteros cumplen los siguientes axiomas, para todo a, b, c pertenecientes a \mathbb{Z}:

  • Axioma 1. Operaciones internas:
    • a+b pertenece a \mathbb{Z}
    • a*b pertenece a \mathbb{Z}
  • Axioma 2. Propiedades asociativas:
    • (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
    • (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
  • Axioma 3. Propiedades conmutativas:
    • a+b = b+a
    • a*b = b*a
  • Axioma 4. Elementos neutros:
    • Existe un elemento 0 perteneciente a \mathbb{Z} tal que a+0 = 0+a = a, para odo a perteneciente a \mathbb{Z}
    • Existe un elemento 1 perteneciente a \mathbb{Z} tal que a*1 = 1*a = a, para odo a perteneciente a \mathbb{Z}
  • Axioma 5. Existencia de opuestos:
    • Existe -a tal que a+(-a) = (-a)+a = 0
  • Axioma 6. Propiedad cancelativa:
    • a*b = a*c y a no es 0, implica que b = c
  • Axioma 7. Propiedad distributiva:
    • a*(b+c) = a*b+a*c
  • Axioma 8. Propiedad reflexiva:
    • aa
  • Axioma 9. Propiedad antisimetrica:
    • ab y ba, implica que a = b
  • Axioma 10. Propiedad transitiva:
    • a < b y b < c, implica que a < c
  • Axioma 11. Propiedad de la buena ordenación.
    • Sea S un subconjunto no vacio de \mathbb{Z}, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.
  • Axioma 12.
    • c > 0 y ab, implica que a*cb*c
    • ab, implica que a+cb+c para todo c perteneciente a \mathbb{Z}


Conjuntos de números:
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