Número e

Introducción

El número trascendental e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del análisis.

Su valor aproximado es

$e \approx 2,7182818284590452354 ...$

Definición

La definición más natural es la siguiente: e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1: ln e = 1.

Esto se escribe:

$\int_1^e \frac {dx} x = 1$

Propiedades

Las propiedades siguientes también pueden ser tomadas como definición de e.

1) e es la suma de los inversos de los factoriales:

$e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$

2) e es el límite de la sucesión de término general

$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n$

Esta propiedad aparece tan a menudo en los cálculos, y es tan frecuente pedir su demostración que se propone a continuación una prueba.

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

$e = \lim_{x \to \infin}\left(1 + \frac {1} {x}\right)^x$

Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo:

$ln \left((1 + h)^\frac {1}{h}\right) = \frac {ln(1+h)} {h} = \frac {h + O(h^2)} {h} = 1 + O(h)$

Porque ln(1 + h) equivale a h cuando h se aproxima a 0. Esta equivalencia se puede obtener al considerar la tangente en x = 1 a la curva del logaritmo (su ecuación es y = x - 1 y aproxima la curva y = ln x, por consiguiente ln x ~ x - 1 (en x = 1) o sea ln (1 + h) ~ h con h = x - 1 que tiende hacia 0).

Como el logaritmo se aproxima a 1, la expresión tiende hacia e.

Luego, con el cambio de variable

$x = \frac 1 h$

se obtiene

$e = \lim_{h \to 0^{+}}\left(1 + h\right)^\frac {1} {h}$

Es fácil ver que son dos veces la misma fórmula porque cuando h tiende hacia cero (por el lado positivo), su inverso x tiende hacia el infinito (positivo).

3) el desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

$e = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}$

lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Euler, y en fracción continua no normalizada:

$e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{3 + \frac{4}{5 + \frac{5}{6 + \frac{6}{7 + \frac{7}{8 + \cdots}}}}}}$

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

4) e es irracional y trascendental.

Función exponencial

Llamamos exponencial la función definida sobre los reales por

$x \longmapsto e^x$

.

• La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
• La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, verificando la relación:

$e^{i\cdot t} = \cos{t} + i\sin{t}$.

Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

Referencias

Bibliografía
Autor: M.Romero Schmidtke

Notas