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Número decimal

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Un número es decimal si su escritura decimal, es decir en base diez, consta de un número finito de cifras a la derecha de la coma.

Por ejemplo: 12,54679 lo es, mientras que \frac 1 3 = 0, 333 333 333 333 ... no.

Esta definición, aunque muy natural, no resulta satisfactoria, porque define un concepto (ser decimal) con otro (escritura decimal) más complicado.

Mirando bien el primer ejemplo:  12,54679 = \frac  {1\ 254\ 679} {10\ 000}= \frac  {1\ 254\ 679} {10^4} , se puede uno percatar

de que todo número decimal puede escribirse como una fracción de enteros, con una potencia de 10 al denominador. La potencia de diez es el número de cifras a la derecha de la coma.

El conjunto de los decimales, denotado \mathbb{D}, está incluido en el de los racionales, \mathbb{Q}.

La pregunta natural es entonces: ¿Cómo saber si un número racional es decimal?

Todo número racional se puede escribir como fracción irreductible: r=\frac a b , con a y b sin factor común,

o sea con su máximo común divisor igual a 1: mcd(a,b) = 1.

El teorema es el siguiente:

Un racional es decimal si y sólo si el denominador de su fracción irreductible es de la forma 2n·5p ( n y p naturales).

Ejemplos:

\frac 1 2, \frac 1 4, \frac 1 5, \frac 1 8,\ y\ \frac 1 {10} son decimales, mientras que \frac 1 3, \frac 1 6, \frac 1 7, \frac 1 9, \ y\ \frac 1 {11} no.
a = \frac {19\ 548\ 554\ 523\ 487} {1280} lo es porque 1280 = 28·5. (es fracción irreductible, aunque aquí no importa)


 b =\frac {987\ 654\ 320}{3\ 000\ 000} no lo es porque no hay manera de hacer desaparecer el factor 3 que tiene

el denominador; la fracción irreductible también lo tendrá porque el numerador no es divisible por 3 (ver los criterios de divisibilidad).

La noción de número decimal no es muy relevante en matemáticas, porque es relativa a la manera de escribir los números - aquí la base diez - y no es relativa a los números mismos.
Haber escogido la base diez es una decisión arbitraria de la humanidad (debido a una particularidad fisiológica: mire sus manos...), carente de significado matemático.


Autor: M.Romero Schmidtke