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Número cardinal

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Los números cardinales o transfinitos fueron inventados por Cantor en 1874. Son una generalización de los números habituales, que representan cantidades finitas, a cantidades infinitas. En realidad inventó dos tipos de «números infinitos», los cardinales y los ordinales. Pero antes de explicarlos veamos un problema concreto:

El Hotel del Infinito

Érase una vez un hotel con infinitas habitaciones, la número 1, la 2, la 3, ... (como este artículo no es infinito, omitiremos el resto), llamado el Hotel del Infinito. Una noche en que el hotel estaba completamente lleno, llegó un nuevo huésped a la recepción, pidiendo una habitación donde alojarse. El recepcionista, un tal Hilbert, le contestó que no había problema, que dispondría de una habitación libre en breves instantes. Entonces habló por el interfono con todas las habitaciones y les dijo a los clientes: (puedes intentar adivinarlo por tí mismo; si no lo consigues, pulsa aquí). Y así pudo el cliente hospedarse en el hotel.

Otro día llegó un autobús repleto de turistas, que querían alojarse en el hotel. Como sabían de su gran capacidad, no habían hecho reserva. Aunque resultó que ese día el hotel también estaba lleno (se encontraba en una ciudad muy turística). El recepcionista, tranquilamente, le preguntó al guía cuántos pasajeros había en el autobús, que aunque ahora mismo el hotel estaba lleno, enseguida se quedarían libres algunas habitaciones. El guía le dijo: «Bueno, este es un autobús especial, un Inficar C-99, y lleva infinitos pasajeros. ¿Habrá habitaciones para todos?». El recepcionista le contestó: «Sin problema». (Si quieres saber cómo lo hizo, pulsa aquí). Y así pudieron alojarse todos en el hotel. (Atención: más adelante usamos las soluciones de los problemas en el artículo, así que si quieres resolverlos por ti mismo no sigas leyendo. El que avisa no es traidor.)

Definición

Antes de definir qué es un número infinito, un concepto bastante abstracto y sutil (igual que los números finitos), veamos algo más sencillo: cómo contar.

Cuando tenemos un conjunto finito de objetos y queremos contarlos, tomamos uno al azar, decimos «uno» y lo apartamos, tomamos otro, decimos «dos» y lo apartamos, ... hasta que se acaban todos los objetos del conjunto.

Cuando el conjunto es infinito tenemos un problema, nunca acabamos de contar. Aparte de eso, nos faltan nombres de número, ya que los únicos que conocemos son los finitos, 1, 2, 3, ...

En el caso finito, además de contar el número de objetos de un conjunto, podemos comprobar que dos conjuntos tienen el mismo número de objetos sin calcular cuál es ese número. Por ejemplo, si en un banquete todos los asientos están ocupados sabemos que hay tantos asientos como invitados, aunque no los contemos. Por supuesto, estamos suponiendo que en cada asiento hay una sola persona y que cada persona está sentada en un solo asiento; si no, el resultado no sería cierto. Esto se corresponde con el concepto matemático de aplicación biyectiva.

Da igual que los dos conjuntos de objetos sean infinitos. Por ejemplo, si en el hotel del infinito hay un huésped en cada habitación, sabemos que hay tantos huéspedes como habitaciones. De hecho, tomamos esto como

Definición: Decimos que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, o el mismo cardinal, si hay alguna aplicación biyectiva entre ellos.

Una aplicación biyectiva (o biyección) es una aplicación (a cada persona le corresponde un solo asiento) inyectiva (no hay dos personas que compartan el mismo asiento) y sobreyectiva (todos los asientos están ocupados).

Ahora que sabemos comparar el número de objetos de dos conjuntos infinitos, vamos a definir los números infinitos. En realidad se les llama números transfinitos o cardinales, quizás porque los matemáticos de la época de Cantor no se sentían cómodos llamándolos como a los números corrientes de toda la vida (esto ya pasó con los números imaginarios). Bien, ¿qué es un número? Es una etiqueta que designa a los conjuntos que tienen una propiedad en común: tener ese número de elementos. Dicho así parece una definición circular. El número 2 sería la etiqueta con que designamos a «los conjuntos que tienen 2 elementos». Para romper el círculo, los matemáticos eligieron como etiqueta precisamente la reunión de todos los conjuntos que tienen ese número de elementos. Concretamente:

Definición: Un número cardinal es una clase de conjuntos tales que entre dos cualesquiera de ellos hay alguna biyección.

Hemos mencionado el «dos» en la definición, pero esto es inevitable, es un concepto más básico que el de número, que por ejemplo ya está implícito en el concepto de aplicación. Hay otra forma de elegir la etiqueta, que veremos más adelante.

Además de poder decir cuándo dos números son iguales, también podemos decir cuándo uno es mayor que otro. Si cada persona ocupa un asiento y en cada asiento hay a lo sumo una persona pero quedan asientos vacíos, entonces hay más asientos que personas. Es decir, si hay una aplicación inyectiva de un conjunto en otro, el primero tiene menos cantidad de elementos que el segundo. Pero cuidado, esto sólo es cierto en el caso finito. En el caso infinito puede haber el mismo número de asientos que de personas. En el Hotel del Infinito, cuando los huéspedes de la primera noche se mudan, queda una habitación vacía pero sigue habiendo el mismo número de huéspedes que de habitaciones. Asi que damos la siguiente

Definición: El cardinal de un conjunto es menor o igual que el de otro cuando haya una aplicación inyectiva del primero en el segundo. O equivalentemente, cuando haya una aplicación sobreyectiva del segundo en el primero. Decimos que es menor si es menor o igual pero no igual.

En los problemas del Hotel del Infinito hemos visto que ∞+1=∞ y que ∞+∞=∞ (pronto definiremos la suma precisamente), asi que no conviene dejarse guiar por las intuiciones que uno tiene sobre la relación <, que están basadas en el comportamiento de los números finitos. En general no siempre es cierto que m<m+n aunque n sea distinto de 0. ¿Se cumple que si m≤n y n≤m entonces m=n? La respuesta es que sí; pero sorprendentemente esto no es nada fácil de probar, y lleva el nombre de nada menos que tres matemáticos: teorema de Cantor-Bernstein-Schröder. La demostración es bastante corta y se puede entender fácilmente con un dibujo, pero eso no significa que sea fácil de encontrar.

Aritmética transfinita

Ahora vamos a definir la suma de cardinales de forma rigurosa. Para hacerlo nos inspiramos como siempre en el caso finito y un ejemplo concreto. Queremos darle un sentido a fórmulas como ∞+1=∞ y ∞+∞=∞ pero ¿qué significa una fórmula como 2+3? Para sumar 2 y 3, un niño pequeño quizás levantaría dos dedos, luego tres más y al final contaría cuántos hay en total. Básicamente, lo que hace es tomar dos objetos, luego añadirles tres más, y el resultado son 2+3 objetos. Para conjuntos infinitos se hace lo mismo:

Definición: La suma de dos cardinales es el cardinal de la unión de dos conjuntos que los representen.

La suma de cardinales, entes bastante abstractos, no es más que una traducción de algo más concreto, la unión de conjuntos. Si un conjunto tiene m elementos y otro tiene n elementos, su unión tiene m+n elementos. Se puede demostrar que esta definición no depende de los representantes que tomemos, sólo de sus cardinales. Esta suma cumple que


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