Multiplicación

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

La multiplicación es un caso particular de la suma que consiste en sumar un número cualquiera A una cantidad B de veces.

Luego sumar A una cantidad B de veces se expresaría así: A+A+A...etc B veces=T. Para abreviar esta forma de operar, esta suma, se expresa de la siguiente forma: AxB=T.

Índice

1 Definición
2 Términos
3 Representación escrita
4 Representación descritiva
5 Propiedades básicas
6 Propiedades operativas
7 Regla de multiplicar
8 Pruebas de multiplicar
9 Cuestiones várias con multiplicaciones
- 9.1 Multiplicación de pares e impares
10 Referencias

[escribe] Definición

La multiplicación puede definirse de varias maneras según las series de números con los que trabajemos. Dentro del campo de los números naturales las definiciones más utilizadas son:

1.-Multiplicar es sumar un número una cantidad de veces. Así 5+5+5=15 se expresa 5x3=15.

2.-Multiplicar es transformar cada unidad de un número en tantas unidades como tiene otro. Asi multiplicar 3x2 es trasformar cada unidad del número tres en un dos. Luego 3x2=II+II+II ya que 3 es I+I+I.

La definición que sirve para toda clase de números es:

3.-Multiplicar es hacer a un número lo que el otro es con respecto a la unidad. Esta definición es la más genérica.

Ejemplos:

5x(1/2) es hacer a 5 lo que 1/2 es con 1 y como 1/2 es multiplicar a 1 por 1 y dividir por 2, luego 5x(1/2)=(5x1)/2.

(-5)x(-4) es hacer (-5) lo que (-4) es respecto a 1. Como (-4) esta multiplicando 1 por 4 y luego cambia el signo, tendremos que (-5)x(-4)=(-20) y cambiando de signo sería (+20)

[escribe] Términos

La multiplicación simple tiene tres términos que son: multiplicando, multiplicador y total o producto.

El multiplicando es el número que se suma, consigo mismo, tantas veces como unidades tiene otro.

El multiplicador son las veces que se repite el multiplicando en una suma de sumandos iguales.

El total o producto es el resultado de una suma de sumandos iguales.

Ejemplo:5x3=5+5+5=15 donde 5 es el multiplicando, 3 el multiplicador y 15 el total.

Tanto el multiplicando como el multiplicador también se le llaman factores de la multiplicación.

La multiplicación compuesta es aquella que tiene más de 2 factores. Ejemplo: 3x5x2=(3x5)x2=15x2=30

La multiplicación compuesta se tiene que hacer de forma sucesiva, multiplicando primero los dos factores, despues el subtotal anterior por el siguiente factor y así sucesivamente.

[escribe] Representación escrita

Sabemos, por los apartados anteriores, que una multiplicación es una suma de un mismo número una cantidad de veces. Asi A+A+A=T se expresaría por Ax3=T

El multiplicando se pone primero, el multiplicador segundo separado del anterior por el signo (x),(.) ó (*) y al final se pone un igual seguido del valor total de la multiplicación.

Cuando los números a multiplicar son muy grandes se pone el multiplicando encima del multiplicador y debajo de este una raya con el total debajo de esta.

[escribe] Representación descritiva

Una representación descritiva de la multiplicación 5x4 serían las siguientes:

En forma lineal:IIIII+IIIII+IIIII+IIIII=IIIII,IIIII,IIIII,IIIII

En forma rectangular sería:

IIIII

Representando la multiplicación de esta forma se ve con claridad que cada unidad de 5 (en horizontal) se repite 4 veces y cada unidad de 4 (en vertical) se repite 5 veces, dandonos la evidencia que 5x4=4x5=20.

[escribe] Propiedades básicas

1.-Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

DEMOSTRACIÓN: Tenemos que AxB=A+A+A...B veces, como cada unidad de A se transforma en B, y B se repite tantas veces como unidades tiene A, se puede enunciar que AxB=BxA. Esto se ve facilmente en el apartado descriptivo anterior.

2.-Propiedad asociativa: Si sustituimos en una multiplicación varios factores por su total, el producto general no varía

DEMOSTRACIÓN: Es evidente que un producto parcial de varios factores es un número único y si sustituimos este por su total el resultado global no variará.

3.-Propiedad disociativa: Si descomponemos un factor de una multiplicación en un producto de otros factores más simples, el total general no varía

DEMOSTRACIÓN: Es evidente que un factor se puede representar por una multiplicación, como el producto y el factor descompuesto es lo mismo, el total general no varía.

4.-Propiedad de elemento neutro: Si multiplicamos un número A por 1 siempre obtendremos A

DEMOSTRACIÓN: Ax1=A ya que A entra como sumando una sola vez.

5.-Propiedad de elemento nulo: Si multiplicamos un numero A por cero siempre obtendremos cero

DEMOSTRACIÓN: Ax0=0 ya que Ax0=0xA según propiedad conmutativa y 0xA=0+0+0...etc A veces=0

[escribe] Propiedades operativas

1.-Multiplicar un número por una suma (Propiedad distributiva simple): Si multiplicamos un número por una suma, el total es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

DEMOSTRACIÓN: Sea el producto Ax(B+C)=T luego según lo dicho en lineas precedentes tendremos que Ax(B+C)=(B+C)+(B+C)...A veces=(B+B+B...A eces)+(C+C+C...A veces)=(AxB)+(AxC)=Ax(B+C)

2.-Multiplicar dos sumas (Propiedad distributiva compuesta): Es igual a la suma de los productos de cada sumando del multiplicando por cada sumando del multiplicador. Así (A+B)x(C+D)=(AxC)+(AxD)+(BxC)+(BxD).

DEMOSTRACIÓN: Teniendo presente la propiedad distributiva anterior, se ve facilmente que la cuestión presente es aumentar primero A veces (C+D) y despues B veces (C+D) resuktando Ax(C+D)+Bx(C+D)=((AxC)+(AxD))+(BxC)+(BxD) que es lo que hemos afirmado.

3.-Multiplicar un número por una resta: Multiplicar un número por una resta es igual a la resta de los productos de dicho número por cada término de la resta.

DEMOSTRACIÓN: Sea el producto Ax(B-C)=T luego según lo dicho en lineas precedentes tendremos que Ax(B-C)=(B-C)+(B-C)...A veces=(B+B+B...A eces)-(C+C+C...A veces)=(AxB)-(AxC)=Ax(B-C)

4.-Multiplicar un productos por un número: Es igual a multiplicar el número y los factores del producto en cualquier orden

DEMOSTRACIÓN: Sea el producto (AxB)xC si (AxB)=T entonces (BxA)=T, luego (A+A...B veces)=(B+B...A veces)=T desduciendo que TxC=(AxB)xC=(BxA)xC=AxBxC=BxAxC en cualquier orden según propiedad conmutativa.

5.-Multiplicar dos productos: Es igual a multiplicar todos los factores de los dos productos en cualquier orden

DEMOSTRACIÓN: Sea los productos (AxB)x(CxD) que es igual a ((AxB)xC)xD en conclusión dos casos del apartado 4, primero multiplicar (AxB)xC=T y luego TxD=(AxBxC)xD=AxBxCxD en cualquier orden según propiedad conmutativa.

6.-Multiplicar una división por un número: Es igual a multiplicar el dividendo por el número y dividir todo por el divisor

DEMOSTRACIÓN:Sea Ax(B/C)=T que es igual a (B/C)+(B/C)...etc A ceces=T y como todas las fracciones tienen el mismo denominador se sumaran los numeradores que son B+B+B...etc..A veces=BxA=AxB resultando Ax(B/C)=(AxB)/C=T

7.-Multiplicar dos divisiones: Es igual a multiplicar los dos dividendos, luego los dos divisores y los totales de los dividendos dividirlos por los totales de los divisores.

DEMOSTRACIÓN:

Sea (A/B)x(C/D)=T luego esta operación es hacer (A/B) lo que (C/D) es con la unidad.

El factor (C/D) con respecto a 1 es multiplicar por C y dividir por D resultando que (A/B)x(C/D)=((A/B)xC)/D.

El factor (A/B)xC=(AxC)/B según propiedad 6.

Este resultado (AxC)/B/D=(AxC)x(1/B)x(1/D) puesto en forma multiplicativa ya que la división es la operación opuesta de multiplicación y viceversa y segun apartado 6 tendremos (A/B)x(C/D)=(A/B)x(C/D)=(AxD)/(BxC)

8.-Multiplicar dos o más potencias de una misma base: Es igual a otra potencia de la misma base y su exponente es la suma de los exponentes de las potencias que hacen de factores.

DEMOSTRACIÓN: Sea $B n x B m = (B x B x B ... N v e c e s) x (B x B x B .. M v e c e s) = B n + m$

9.-Multiplicar raices iguales una cantidad par: Es igual al radicando elevado al exponente resultante de dividir el número par por 2

DEMOSTRACIÓN: Sea $\sqrt[n]{A}$ x $\sqrt[n]{A}$ x $\sqrt[n]{A}$ ...Par de veces=T. Como $\sqrt[n]{A}$ x $\sqrt[n]{A}$ =A, entonces T= $A p / 2$

10.-Multiplicar raices iguales una cantidad impar: Es igual a multiplicar el factor raiz dado por la potencia formada por el radicando elevado al número impar divido por 2, sin considerar e resto

DEMOSTRACIÓN: Si consideramos los datos del apartado 9 tendremos que A se repite (I-1)/2 y sobra una $\sqrt[n]{A}$ , resultando que $T = A (i - 1) / 2$ x $\sqrt[n]{A}$

[escribe] Regla de multiplicar

1.-Multiplicar números naturales

Números dígitos son los que tienen una sola cifra y polidígitos son los qe tienen más de una cifra. Los números dígitos son 0,1,2,3,4,5,6,7,8, y 9. Los polidígitos son todos los demás.

Si los números a multiplicar son dígitos se utiliza la tabla de multiplicar, recordandola o consultandola, poniendo a que equivale el producto de los dos factores.

Si multiplicamos un polidígito por un dígito se multiplica cada orden del polidígito por el dígito, según propiedad distributiva simple. Si algún producto es superior a 10 se tienen que sumar, al producto con el orden inmediato superior la cantidad de decenas y dejar como resultado las unidades. Ejemplo: 4561x2=9122. 1x2=2, 6x2=12 resultado2 y añadimos 1, 5x2=10+1=11 resultado 1 y añadimos 1, 4x2=8+1=9.

En el caso de dos polidígitos se utiliza la propiedad distributiva compuesta, que consistiría en multiplicar todos los ordenes del multiplicador por el multiplicando, según el caso anterior, y luego sumar los resultados. Ejemplo 123x45=(123x5)+(123x40)=5435.

2.-Multiplicar números enteros

Se procede como los naturales teniendo presente estas reglas del signo.

(+A)x(+B)=+(AxB) ya que (+A)+(+A)+(+A)...B veces= +(AxB).

(-A)x(+B)=-(AxB) ya que (-A)x(+B)=(-A)+(-A)+(-A)...etc B veces=-(AxB)

(+A)x(-B)=(-AxB) será igual que el caso anterior según propiedad conmutativa.

(-A)x(-B)=+(AxB) como multiplicar es hacer lo que el multiplicador es con la unidad, y (-B) es (1xB) y variar el signo, tendremos que (-A)xB=-(AxB) y variando el signo será +(AxB)

Ver: Aritmética del signo operacional o numérico

Las reglas del signo son aplicables a toda las series núméricas.

3.-Multiplicar números decimales

Se procede como los naturales y el total tendrá tantas cifras decimales como la suma de los decimales de los factores.

4.-Multiplicar números fraccionarios

Sea el producto (A/B)x(C/D) como tenemos que hacer (A/B) lo que (C/D) es con 1, y (C/D) con 1 es (Cx1)/D, entonces (A/B)x(C/D)=((A/B)xC))/D=((AxC)/B))/D, que se según la propedad del divisor daría ((AxC)/B))/D=(AxC)/(BxD); pudiendo enunciar: Para multiplicar fracciones se multiplican por un lado los numeradores y por otro los denominadores, la fracción total, tendrá por numerador el primer total y por denominador el segundo.

5.-Multiplicar números racionales

Se coge el factor que pertenezca a la serie númerica más alta y se transforman los restantes a ese nivel y luego se opera, según los 4 apartados anteriores.

6.-Multiplicar números irracionales

Se redondean los números irracionales al orden deseado y despues se multiplican como si fueran decimales.

7.-Multilicar números reales

Se coge el factor que pertenezca a la serie númerica más alta y se transforman los restantes a ese nivel y luego se opera, según los 6 apartados anteriores.

[escribe] Pruebas de multiplicar

1.-Prueba conmutativa: Consiste en multiplicar los factores de una multiplicación en otro orden diferente al que lo hemos efectuado. Esta prueba se deriva de la propiedad conmutativa. Asi AxB=C es equivalente a BxA=C

Si después de hacer una multiplicación en un orden, lo hacemos en otro, podemos inferir que la multiplicación está bien.

2.-Prueba de la división: Esta prueba es solo práctica en multiplicaciones de dos factores.

Como la multiplicación es una operación inversa a la división, podemos enunciar que si el total lo dividimos por cualquier factor el resultado tiene que dar el otro.

3.-Prueba del 9: Consiste en dividir todos los factores por 9, despues multiplicar los restos de las anteriores divisiones por 9 y por último comparar este resto con el resto de dividir el total por 9; si los restos son iguales, la multiplicación es correcta en un alto grado de probabilidades.

Ejemplo: 10x8=80. 10=(9x1)+1, 8=(9x0)+8, 8x1/9=8 y el total 80=(9x8)+8. Los restos son iguales.

[escribe] Cuestiones várias con multiplicaciones

[escribe] Multiplicación de pares e impares

Un par es un múltiplo de 2 y un impar=par+1. Los casos que se pueden dar son: PxP', IxI', PxI.

1.-El producto de dos pares da un total par

DEMOSTRACIÓN: Sea PxP'=T tendremos que P+P+P...etc P' veces=T, como la suma e pares da par, el total T será par.

2.-El producto de dos impares dará siempre un impar

DEMOSTRACIÓN: Sea IxI'=T como I=P+1 y I'=P'+1, luego IxI'=(P+1)x(P'+1)=(PxP')+P+P+1=T donde la suma (PxP')+P+P=Par y sumandole 1, el factor T será impar.

3.-El producto de un par por un impar o viceversa, dará siempre par

DEMOSTRACIÓN: Sea PxI=T donde P+P+P...I veces=T como la suma de pares da par según caso 1, el total T será par.

[escribe] Referencias

Notas

Bibliografía

Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada.
Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas.
González Aguilar. Matemáticas.

Otras fuentes de información

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