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Movimiento circular

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Se denomina movimiento circular al movimiento plano descrito por un punto en trayectoria circular en torno a un punto fijo. Cuando el centro de giro es el propio centro de masas del objeto, el movimiento se denomina rotación y se distingue del anterior en que mientras las partículas del objeto se mueven describiendo trayectorias circulares en torno al eje de rotación el objeto en sí no se traslada.

Si el movimiento circular es uniforme el objeto recorre arcos de circunferencia iguales en intervalos de tiempo iguales.

El movimiento circular a velocidad constante es el caso más simple de movimiento uniformemente variado ya que el objeto sólo puede describir dicha trayectoria si existe una aceleración —y fuerza actuando sobre el objeto— constante en dirección al centro de rotación denominada «centrípeta»; en el caso por ejemplo de un satélite en órbita geoestacionaria la fuerza es la de la gravedad, en un automóvil trazando una curva es el rozamiento entre el neumático y el asfalto y en el caso de la honda con la que David derrotó a Goliat la cinta de cuero que retenía la piedra. Si el vínculo desapareciera en cualquiera de ellos el objeto: satélite, automóvil o piedra, abandonaría la trayectoria circular para seguir una trayectoria rectilínea en virtud de la primera ley de Newton como bien pudo comprobar el desafortunado Goliat.

Teniendo en cuenta la existencia de una aceleración centrípeta o radial, se denomina movimiento circular uniforme aquél en el que la velocidad angular no varía (el módulo de la velocidad lineal es constante pero varía su dirección) y uniformemente variado aquél en el que existe aceleración tangencial, además de la radial, y es constante, variando entonces tanto el módulo de la velocidad como su dirección.

Magnitudes angulares para el estudio del movimiento circular.

Magnitudes angulares

En el movimiento circular, la posición del objeto, usando coordenadas polares queda perfectamente definida conociendo el ángulo, θ, ya que la distancia al origen tomando éste en el centro de giro es constante e igual al radio de giro R.

En un lapso de tiempo Δt la partícula habrá girado un ángulo Δθ. La velocidad angular media se define como el cociente entre el ángulo girado y el tiempo empleado para ello y la velocidad angular instantánea, ω como el límite del cociente anterior cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada de θ:

Análogamente, en un lapso de tiempo Δt la partícula habrá variado su velocidad en Δω. La aceleración angular media es el cociente entre la variación de la velocidad angular y el tiempo empleado para ello y la aceleración angular instantánea, α como el límite del cociente anterior cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada de ω y segunda derivada de θ:

La unidad de velocidad angular es el radián por segundo (rad/s); y la de aceleración angular rad/s².

Usualmente se representan la velocidad y aceleración angulares empleando los pseudovectores de la figura, cuyo módulo es el de la velocidad y aceleración angulares instantáneas respectivamente y dirección perpendicular al plano que contiene la trayectoria circular. y con el sentido convencionalmente atribuido siguiendo la regla del sacacorchos o de la mano derecha (cerrando la mano derecha en el sentido del giro hacia donde apunta el pulgar).

Velocidad constante

Es el caso más sencillo que se pueda plantear. Si consideramos el punto de la figura en un instante cualquiera y tomamos como origen del sistema de coordenadas el centro de giro, siendo R el radio de giro, θ0; el ángulo inicial (en t=0), θ el ángulo girado en el tiempo t y ω la velocidad angular, constante, el ángulo girado en un tiempo t será, integrando la ecuación (1):

Coordenadas cartesianas del punto.

y las coordenadas cartesianas del punto serán (véase trigonometría):

El vector r que indica la posición del punto en cada instante será:

La velocidad del punto es la variación de su posición a lo largo del tiempo, de modo que derivando la expresión anterior respecto del tiempo, obtenemos:

Vector cuyo módulo es , constante, y cuya dirección como fácilmente puede comprobarse es perpendicular al vector de posición, es decir, tangente a la trayectoria circular (1). Vectorialmente podríamos escribir la ecuación anterior (véase producto vectorial):

La aceleración del punto es la variación de su velocidad a lo largo del tiempo, así que derivando de nuevo, obtenemos:

Al igual que en el caso anterior el módulo de la aceleración, Rω², es constante y su dirección es la contraria del vector de posición: radial y hacia el centro de rotación, la aceleración centrípeta definida con anterioridad. Análogamente al caso anterior podremos escribir la ecuación del modo siguiente:

En virtud de la relación existente entre el vector de posición y su segunda derivada (la aceleración) podemos escribir la ecuación diferencial del movimiento circular uniforme:

Obtenida la aceleración, el módulo de la fuerza centrípeta que actúa sobre el objeto (cuya dirección será la de la aceleración) puede deducirse de la segunda ley de Newton:

Periodo

El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico ya que la partícula pasa por la misma posición a intervales de tiempo regulares, dicho lapso de tiempo se denomina período y se representa usualmente por T. Tomando la posición de la partícula en un instante inicial cualquiera deberá cumplirse que ésta recorre un ángulo en un tiempo T, matemáticamente:

La inversa del periodo se denomina frecuencia (f).

La unidad del periodo es el segundo y la de la frecuencia el hercio. Físicamente un movimiento circular con un periodo de 10 segundos indica que la partícula tarda dicho tiempo en dar una vuelta completa, mientras que si la frecuencia es de 10 Hz significa que da diez vueltas en un segundo.

Notación compleja

La posición del punto utilizando números complejos puede escribirse z=x+iy, donde i, la unidad imaginaria, es la raíz cuadrada de -1; en esencia el plano de la trayectoria se compone entonces de dos dimensiones, una real y otra imaginaria equivalentes a las que antes denotábamos x e y. Empleando la fórmula de Euler, la posición compleja vendría reprentada por la ecuación:

La derivada de la ecuación anterior es la velocidad compleja:

Como puede apreciarse la velocidad está multiplicada por el factor i lo que significa que la velocidad es perpendicular a la posición (tangencial).

Derivando de nuevo obtenemos la aceleración compleja:

Si el movimiento circular es uniformemente variado el objeto recorre arcos de circunferencia crecientes en intervalos de tiempo iguales.

Donde el signo menos indica que la aceleración centrípeta tiene la dirección de la posición pero sentido contrario. De nuevo la ecuación diferencial del movimiento puede escribirse

Aceleración constante

De la ecuación (2):

Integrando la expresión anterior entre el instante inicial (t=0) en el que conocemos la velocidad angular ω0 y un instante cualquiera (t) obtendremos la velocidad angular en función del tiempo:

Si integramos la velocidad angular, suponiendo que en el instante inicial el ángulo era θ0:

Se observará que estas ecuaciones son análogas a las del movimiento rectilíneo. La velocidad y aceleración lineales instantáneas pueden obtenerse generalizando las ecuaciones (7) y (9):

Donde el primer sumando de la aceleración corresponde a la aceleración centrípeta y el segundo a la tangencial.

Componentes intrínsecas

Sistemas de coordenadas.

Para la representación vectorial del movimiento circular es más cómodo «subirse» al objeto adoptando un sistema de referencia móvil que utilizar las coordenadas cartesianas. Los vectores directores de este sistema de referencia son el tangente a la circunferencia en cada punto, τ, y el normal o radial, n, tales que:

A diferencia del caso anterior, ahora los vectores varían a medida que se mueve el objeto, si los derivamos en función del tiempo:

Respecto de dicho sistema de referencia, la posición del objeto será:

Derivando obtenemos la velocidad:

La velocidad en un movimiento circular sólo tiene componente tangencial. Derivando de nuevo:

Como vemos, existe siempre un aceleración centrípeta proporcional a la velocidad angular y en aquellos casos que el movimiento sea acelerado, una aceleración tangencial con su valor.

Dinámica del movimiento circular uniforme

Para un observador situado en el ecuador el satélite aparentará no moverse ya que su velocidad de rotación es la misma que la de la Tierra (radios de la Tierra y de la órbita a escala).

En función de la naturaleza de la fuerza centrípeta actuante pueden considerarse dos problemas dinámicos típicos del movimiento circular, el primero si la fuerza actuante es la gravedad y el segundo si la fuerza actuante es el rozamiento.

Órbita geoestacionaria

Es aquella en la que el satélite, girando a la misma velocidad angular que la Tierra se mantiene sobre el mismo punto del ecuador, sobre el mismo meridiano. Sustituyendo en (11) el valor de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite:

Despejando el radio de la órbita:

Siendo:

μ = GM = 398600,4418 km3/s2 la constante gravitacional geocéntrica.
ω = 7,29E-5 rad/s la velocidad de rotación de la Tierra calculada considerando un período de rotación igual al día sidéreo.

Sustituyendo valores se obtiene un radio orbital R aproximado de 42172 kilómetros lo que equivale, una vez descontado el radio de la Tierra a una altitud de 35794 km sobre el nivel del mar.

Fuerzas actuantes y magnitudes del movimiento en la trazada de una curva.

Trazado de una curva

Imaginemos un vehículo trazando una curva, en función de su velocidad y radio de giro existirá una aceleración centrípeta (a) de valor ω²R. La fuerza centrípeta que mantiene al vehículo en su trayectoria es el rozamiento entre los neumáticos y el asfalto (FR), sin embargo, esta fuerza no puede incrementarse indefinidamente existiendo un máximo cuyo valor viene dado por el producto del coeficiente de rozamiento (μ) por la normal (N) cuyo valor es igual al peso (P) del vehículo. Si la velocidad es baja, la fuerza de rozamiento es capaz de provocar la aceleración centrípeta necesaria para mantener el vehículo en la trazada pero si ésta es tal que se supera la aceleración centrípeta máxima del rozamiento, el vehículo se sale de la curva. El valor máximo vendrá dado por la fuerza de rozamiento máxima:

Despejando:

Empleando la ecuación anterior puede bien determinarse la velocidad máxima en una curva de radio conocido, e indicarla mediante la adecuada señalización, o bien diseñarse la curva determinando el radio mínimo necesario para trazar la curva con seguridad a la velocidad de diseño de la vía. Por ejemplo, suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0,5 (asfalto húmedo) y una velocidad de circulación de 120 kilómetros por hora, el radio de curvatura mínimo debería ser de unos 230 metros.

En el caso de curvas peraltadas se logra aumentar la fuerza de rozamiento incrementando el valor de N ya que en este caso por la forma geométrica de la curva el coche tiende a «aplastarse» sobre el asfalto.

Evidentemente cuanto mayor sea el radio de curvatura, mayor será la velocidad a la que se podrá circular, ésta es la razón de que los conductores tienden a «cortar» la curva invadiendo el arcén en curvas a la derecha o el carril contrario en curvas a la izquierda —en países donde se circula por la derecha— ya que de este modo siguen una trayectoria cuyo radio de cuvatura es mayor.

Referencias

Bibliográficas

Otras fuentes de información

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