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Momento de una variable aleatoria

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Momentos ordinarios

Sea X una variable aleatoria, y r un número natural. Se llama momento de orden r el valor, cuando existe (es decir si la suma que lo define o la integral converge), de .

En el caso de una variable aleatoria continua mientras que en el caso de una variable aleatoria discreta X tal que , tenemos


Momentos centrados (o centrales)

Se supone ahora que X tiene una esperanza finita, y se la denota m:
Se llama momento centrado de orden r o momento central de orden r el valor, cuando existe (es decir en caso de convergencia), de .

En el caso de una variable aleatoria continua mientras que en el caso de una variable aleatoria discreta X que toma los valores en , tenemos


Valores particulares

Los momentos de orden cero valen siempre 1:
El momento de orden uno es la media, tambien llamado valor esperado o esperanza:
El momento centrado de orden uno es nulo: (se ha aplicado la linealidad de la esperanza).
La varianza es, por definición, el momento centrado de orden dos:

Interés

Los momentos de varios órdenes permiten medir características distintas de la distribución de la variable aleatoria o de la serie estadística:

  • El momento de orden cero da la masa total de la serie (en probabilidad, esa masa es 1).
  • El momento de orden uno, la esperanza, es un indicador de posición de la distribución.
  • El momento centrado de orden dos, la varianza, es un indicador de la dispersión, o, al contrario, de concentración, de la distribución.
  • El momento centrado y normado de orden tres es un indicador de la asimetría de la distribución.
  • El momento centrado y normado de orden es un indicador del indicador del aplanamiento de la distribución.

Relaciones entre momentos

La relación más conocida es la de Huygens-Kœnig: que se escribe
y su prueba es la siguiente:

De la misma manera se puede expresar el momento centrado de orden 3 en función de los momentos sencillos de orden inferiopr o igual a tres:

De lo último se deduce
El mismo método da

Más generalmente se puede expresar fácilmente un momento centrado en función del momento sencillo de mismo orden y de los de orden inferior, esto gracias al triángulo de Pascal y, recíprocamente, los momentos ordinarios en función de los centrados de ordren igual o inferior y de la esperanza.


Referencias

Bibliografía
Autor: M. Romero Schmidtke

Notas