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Momento de una variable aleatoria

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Momentos ordinarios

Sea X una variable aleatoria, y r un número natural. Se llama momento de orden r el valor, cuando existe (es decir si la suma que lo define o la integral converge), de m_r =  E \left ( X^r \right ).

En el caso de una variable aleatoria continua m_r = E \left ( X^r \right ) = \int_{-\infty}^{+ \infty} x^r f(x) dx , mientras que en el caso de una variable aleatoria discreta X tal que X(\Omega) = \{x_1, \ x_2, \ ... \ x_ n \}, tenemos m_r = E \left( X^r \right )=  \sum_{i=1}^n x_i^r P(x_i) dx .


Momentos centrados (o centrales)

Se supone ahora que X tiene una esperanza finita, y se la denota m: m = m_1 = E(X) \, .
Se llama momento centrado de orden r o momento central de orden r el valor, cuando existe (es decir en caso de convergencia), de \mu_r =  E \left ( (X-m)^r \right ).

En el caso de una variable aleatoria continua \mu_r = E \left ( (X-m)^r \right ) = \int_{-\infty}^{+ \infty} (x-m)^r f(x) dx , mientras que en el caso de una variable aleatoria discreta X que toma los valores en X(\Omega) = \{x_1, \ x_2, \ ... \ x_ n \}, tenemos \mu_r = E \left( (X- m)^r \right )=  \sum_{i=1}^n (x_i- m)^r P(x_i) dx .


Valores particulares

Los momentos de orden cero valen siempre 1: \mu_0 = E \left ( (X-m)^0 \right ) = E (1) = E (X^0) = P(\Omega) = 1 .
El momento de orden uno es la media, tambien llamado valor esperado o esperanza: m_1 =  E \left ( X^1 \right ) = E (X) .
El momento centrado de orden uno es nulo: \mu_1 =  E ( X-m ) = E (X) - m  = m - m = 0 \, (se ha aplicado la linealidad de la esperanza).
La varianza es, por definición, el momento centrado de orden dos:  V(X) = E \left ( (X - m)^2 \right )

Interés

Los momentos de varios órdenes permiten medir características distintas de la distribución de la variable aleatoria o de la serie estadística:

  • El momento de orden cero da la masa total de la serie (en probabilidad, esa masa es 1).
  • El momento de orden uno, la esperanza, es un indicador de posición de la distribución.
  • El momento centrado de orden dos, la varianza, es un indicador de la dispersión, o, al contrario, de concentración, de la distribución.
  • El momento centrado y normado de orden tres es un indicador de la asimetría de la distribución.
  • El momento centrado y normado de orden es un indicador del indicador del aplanamiento de la distribución.

Relaciones entre momentos

La relación más conocida es la de Huygens-Kœnig: V(X) = E\left ( X^2 \right ) - E(X)^2 \, , que se escribe
\mu_2 = m_2 - m_1^2 \,
y su prueba es la siguiente:

\mu_2 = E \left ( (X - m_1)^2 \right ) = E \left ( X^2 - 2m_1 X + m_1^2 \right ) =  E( X^2 ) \ - \ 2 m_1 E(X) \ + \ m_1^2 \ = \  m_2 \ - \ 2m_1 m_1 \ + \ m_1^2 \ = \ m_2 \ - \ m_1^2

De la misma manera se puede expresar el momento centrado de orden 3 en función de los momentos sencillos de orden inferiopr o igual a tres: E \left ( (X-m)^3 \right ) = E \left ( X^3 - 3m X^2 + 3 m^2 X - m^3 \right ) = E(X^3) \ - \ 3 m E(X^2) \ + \  3m^2E(X) \ - \  m^3 =  m_3 \ - \ 3m m_2 \ + \ 3m^2 m_1 \ - \ m^3  = m_3 - 3m_1 m_2 + 2m_1^3  \ \ (m = m_1)

De lo último se deduce
  m_3 = \mu_3 + 3 m_1 m_2 - 2 m_1^3 = \mu_3 + 3m_1\mu_2 + m_1^3 .
El mismo método da
 \mu_4 = m_4 - 4 m_1 m_3 + 6 m_1 m_3 -  3 m_1^3 . \,

Más generalmente se puede expresar fácilmente un momento centrado en función del momento sencillo de mismo orden y de los de orden inferior, esto gracias al triángulo de Pascal y, recíprocamente, los momentos ordinarios en función de los centrados de ordren igual o inferior y de la esperanza.


Referencias

Bibliografía
Autor: M. Romero Schmidtke

Notas