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Menor, cofactor y comatriz

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Sea A una matriz cuadrada de orden n .
Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A_{i, j}.
Por ejemplo, con n = 4, i = 3 (3ª fila) y j = 2 (2ª columna):

$\mbox{si } A = \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{2} & -2 & 3 \\ 0 & \mathbf{1} & -4 & -1 \\ \mathbf{7} & \mathbf{0} & \mathbf{4} & \mathbf{-6} \\ 3 & \mathbf{3} & -8 & 0 \end{pmatrix} \mbox{ entonces } A_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & -1 \\ 3 & -8 & 0 \end{pmatrix}$

El determinante de esta submatriz se llama menor relativa a la casilla (i, j): M_{i, j} = det( A_{i, j} ) .

En el ejemplo, M_{_3,2} = 34

El cofactor de a_i,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( a_{i, j} ), es el menor multiplicado por el signo (-1)^{i + j}. Se le nota c_{_{i, j}} = (-1)^{i + j} · M_{i, j} o â_{i, j} (con una tilde en vez del acento circunflejo).

En el ejemplo, c_{_{3, 2}} = (-1)⁵ × 34 = -34.

La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:

A·^tcom A =^tcom A · A = det A· I_n, donde I_n es la matriz identidad de orden n.

Autor: M.Romero Schmidtke

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