Mecánica clásica

La mecánica clásica (tambien conocida como mecánica de Newton, llamada así en honor a Isaac Newton, quien hizo contribuciones fundamentales a la teoría) es la parte de la física que analiza las fuerzas que actúan sobre un objeto. La mecánica clásica se subdivide en las ramas de la estática, que trata con objetos en equilibrio (objetos que se consideran en un sistema de referencia en el que están parados) y la dinámica, que trata con objetos que no están en equilibrio (objetos en movimiento). La Mecánica Clásica reduce su estudio al dominio de la experiencia diaria, es decir, con eventos que vemos o palpamos con nuestros sentidos. Tiene diversas extensiones: La mecánica relativista va más allá de la mecánica clásica y trata con objetos moviéndose a velocidades grandes (de valor relativamente próximo a la velocidad de la luz). La mecánica cuántica trata con sistemas de reducidas dimensiones (a escala semejante a la atómica), y la teoría del campo cuántico trata con sistemas que exhiben ambas propiedades.

Aún siendo una aproximación, la mecánica clásica es muy útil puesto que es mucho mas facil de comprender (y matematicamente mucho más facil de computar), y por consiguiente mas facil de aplicar, siendo suficientemente válida para la gran mayoría de los casos prácticos en una gran cantidad de sistemas muy diversos. La teoría, por ejemplo, describe con gran exactitud sistemas como cohetes, planetas, moléculas orgánicas, trompos, trenes, y también la trayectoria de una pelota de fútbol.

La mecánica clásica es ampliamente compatible con otras teorías clásicas como lo es la electromagnetismo, y la termodinámica, también "clásicas" (estas teorías tienen también su correspondiente cuántico).

Magnitudes de Posición y Posiciones

Denotamos la posicion de un objeto con el vector $\vec{r}$, con respecto a un punto fijo en el espacio. Si $\vec{r}$ es una funcion del tiempo t denotado por $\vec{r}$(t), el tiempo t lo tomamos desde un tiempo inicial arbitrario. Entonces tenemos que la velocidad, $\vec{v}$ (tambien un vector puesto que tiene magnitud y dirección) se denota por:

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$

La aceleración, o la cantidad de cambio de la velocidad (la derivada de v) es:

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$

La posición nos indica el lugar del objeto que estamos analizando. Si dicho objeto cambia de lugar, la funcion $\vec{r}$ nos describe el nuevo lugar del objeto. Estas cantidades $\vec{r}$, $\vec{v}$, y $\vec{a}$ pueden ser descritas aproximadamente, es decir sin usar cálculo diferencial, pero los resultados son solamente aproximados puesto que todas estas funciones y cantidades están definidas de acuerdo al cálculo. Sin embargo, estas aproximaciones nos darán una mas facil comprensión de las ecuaciones.

Si por ejemplo hiciéramos un experimento y pudiéramos medir el tiempo (t), y pudieramos saber la posicion de un objeto ($\vec{r}$) en ese tiempo (t), podríamos definir las cantidades anteriores mas facilmente. Denotamos primero el tiempo inicial como t₀ que es cuando iniciamos el cronómetro de nuestro experimento, y denotamos el tiempo final simplemente como t o t_final. Si denotamos la posición inicial como $\vec{r}_0$, entonces designamos la posición final con el símbolo $\vec{r}$ o $\vec{r}_{final}$. Ahora, habiendo ya definido las cantidades fundamentales, podemos expresar las cantidades físicas en términos aproximados de la siguiente manera.

La velocidad del objeto es denotada por:

$\vec{v} = \frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{t - t_0}$

también con la expresión:

$\vec{v} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

La aceleración se denota con

$\vec{a} = \frac{\vec{v}_{final} - \vec{v}_{inicial}}{t_{final} - t_{inicial}}$

Fuerzas

El Principio fundamental de la dinámica (segundo principio de Newton) relaciona la masa y la velocidad de un cuerpo con una magnitud vectorial, la fuerza. Si se supone que m es la masa de un cuerpo y $\vec{F}$ el vector resultante de sumar todas las fuerzas aplicadas al mismo (resultante o fuerza neta), entonces

$\vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt}$

donde m no es, necesariamente, independiente de t. Por ejemplo, un cohete expulsa gases disminuyendo la masa de combustible y por lo tanto, su masa total, que decrece en función del tiempo. A la cantidad $m\vec{v}$ se le llama momento o cantidad de movimiento. Cuando m es independiente de t (como es frecuente), la anterior ecuación deviene:

$\vec{F} = m\vec{a}$

La forma exacta de $\vec{F}$ se obtiene de consideraciones sobre la circunstancia particular del objeto. La tercera ley de Newton da una indicación particular sobre $\vec{F}$: si un cuerpo A ejerce una fuerza $\vec{F}$ sobre otro cuerpo B, entonces B ejerce una fuerza (llamada de reacción) de igual dirección y sentido opuesto sobre A, $-\vec{F}$ (tercer principio de Newton o principio de acción y reacción).

Un ejemplo de una fuerza es la friccion o rozamiento, que para movimiento en seno de gases es función de la velocidad de la partícula (si bien se desprecia dicho efecto a pequeñas velocidades). Por ejemplo:

$\vec{F} = -k \vec{v}$

donde k es una constante positiva. Si tenemos una relación para $\vec{F}$ semejante a la anteriormente expuesta, puede sustituírse en la segunda ley de Newton para obtener una ecuación diferencial, llamada ecuación del movimiento. Si el rozamiento es la única fuerza que actúa sobre el objeto, la ecuación de movimiento es:

$-k\vec{v} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$

Lo que puede integrarse para obtener:

$\vec{v} = \vec{v}_0 e^{\frac{-kt}{m}}$

donde $\vec{v}_0$ es la velocidad inicial (una condición de límite en la integración). Esto nos dice que la velocidad de este cuerpo decrece de forma exponencial a cero. Esta expresión puede ser nuevamente integrada para obtener $\vec{r}$.

La inexistencia de fuerzas, al aplicar el segundo principio de Newton, nos lleva a que la aceleración es nula (primer principio de Newton o Principio de inercia)

Fuerzas importantes son la fuerza gravitatoria (la fuerza que resulta del campo gravitatorio) o la fuerza de Lorentz (en el campo electromagnético).

Energía

Si una fuerza $\vec{F}$ se aplica a un cuerpo que realiza un desplazamiento $d\vec{r}$, el trabajo realizado por la fuerza es una magnitud escalar de valor:

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$

Si se supone que la masa del cuerpo es constante, y dW_total es el trabajo total realizado sobre el cuerpo, obtenido al sumar el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúa sobre el mismo, entonces, aplicando la segunda ley de Newton se puede demostrar que:

$dW_{total} = dT$

en donde T es la llamada energía cinética. Para una partícula puntual, T se define:

$T = \frac{1}{2} m v^2$

Para objetos extensos compuestos por muchas partículas, la energía cinética es la suma de las energías cinéticas de las partículas que lo constituyen.

Un tipo particular de fuerzas, conocidas como fuerzas conservativas, puede ser expresado como el gradiente de una función escalar, llamada energía potencial, V:

$\vec{F} = - \nabla V$

Si se suponen todas las fuerzas sobre un cuerpo conservativas, y V es la energía potencial del cuerpo (obtenida por suma de las energías potenciales de cada punto debidas a cada fuerza), entonces:

$\vec{F} \cdot d\vec{r} = - V \cdot d\vec{r} = - d V$

$\Rightarrow - d V = d T$

$\Rightarrow d (T + V) = 0$

Este resultado es conocido como la ley de conservación de la energía, indicando que la energía toral E = T + V es constante (no es función del tiempo).

Otros resultados

La segunda ley de Newton permitye obtener diversos otros resultados, a su vez considerados como leyes. Ver por ejemplo momento angular.

Formalización

Existen dos importantes formalizaciones alternativas de la mecánica clásica: La mecánica Lagrangiana y la mecánica Hamiltoniana. Son equivalentes a las leyes de Newton y sus consecuencias, pero resultan más prácticas para la resolución de problemas complejos que la aplicación directa de las mismas.

Referencias

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Notas