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Matriz

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En el campo de las matemáticas, una matriz es basicamente un cuadro de números. Por ejemplo:


C =
\begin{pmatrix}
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
  c_{21} & c_{22} & c_{23} \\  
  c_{31} & c_{32} & c_{33} \\
  c_{41} & c_{42} & c_{43} 
\end{pmatrix}
, C \in M_{4,3}(\mathbb{C})

La matriz C tiene cuatro líneas, tres columnas y sus coeficientes pertenencen a \mathbb{C}, cuerpo de los complejos. De aquí en adelante, tomaremos \mathbb{R} como cuerpo de los escalares.

El conjunto de las matrices de n líneas, p columnas, con coeficientes reales se denomina
M_{n,p}(\mathbb{R})
, y es isomorfo al conjunto \mathbb{R}^{np}, pues hay np coeficientes reales en la matriz. Se define la suma (adición) en
M_{n,p}(\mathbb{R})
de manera similar (gracias

al isomorfismo) a la de \mathbb{R}^{np}, es decir sumando los coeficientes correspondientes que corresponden a la misma casilla de la matriz:


\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  
  a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} 
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
  b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
  b_{21} & b_{22} & b_{23} \\  
  b_{31} & b_{32} & b_{33} \\
  b_{41} & b_{42} & b_{43} 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\
  a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\  
  a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \\
  a_{41}+b_{41} & a_{42}+b_{42} & a_{43}+b_{43} 
\end{pmatrix}

Con la misma facilidad se define el producto de una matriz por un número (llamado, en este contexto, un escalar, como es costumbre en los espacios vectoriales) :


\lambda
\begin{pmatrix}
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
  c_{21} & c_{22} & c_{23} \\  
  c_{31} & c_{32} & c_{33} \\
  c_{41} & c_{42} & c_{43} 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  \lambda c_{11} & \lambda c_{12} & \lambda c_{13} \\
  \lambda c_{21} & \lambda c_{22} & \lambda c_{23} \\  
  \lambda c_{31} & \lambda c_{32} & \lambda c_{33} \\
  \lambda c_{41} & \lambda c_{42} & \lambda c_{43} 
\end{pmatrix}

Sin embargo, el concepto de matriz no se distinguiriría del de espacio vectorial si no fuera por la peculiar definición del producto de matrices, que se va a presentar en seguida.

Consideremos el caso más sencillo, él de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = p = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x1,x2) hacen corresponder el punto N(y1,y2) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rapidamente. Así, por ejemplo, el sistema:


\left \{
\begin{matrix}
y_1 = a x_1 + b x_2\\
y_2 = c x_1 + d x_2
\end{matrix}
\right.
   se escribe de forma matricial así:       
\begin{pmatrix}
  y_1\\
  y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  x_1\\
  x_2
\end{pmatrix}

Como se ve, en la notación matricial, las variables soló aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.

Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:


\left \{
\begin{matrix}
z_1 = e y_1 + f y_2\\
z_2 = g y_1 + h y_2
\end{matrix}
\right.
\mbox{ con }
\left \{
\begin{matrix}
y_1 = a x_1 + b x_2\\
y_2 = c x_1 + d x_2
\end{matrix}
\right.

obtenemos:


\left \{
\begin{matrix}
z_1 = e(a x_1 + b x_2) + f(c x_1 + d x_2) = (ea + fc)x_1 + (eb + fd)x_2\\
z_2 = g(a x_1 + b x_2) + h(c x_1 + d x_2) = (ga + hc)x_1 + (gb + hd)x_2
\end{matrix}
\right.
lo que corresponde a la matriz: 
\begin{pmatrix}
  ea + fc & eb + fd\\
  ga + hc & gb + hd
\end{pmatrix}
Por tanto se define el producto de matrices así: 
\begin{pmatrix}
  e & f \\
  g & h
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  ea + fc & eb + fd\\
  ga + hc & gb + hd
\end{pmatrix}
Matriz A por B.png


Para recordar el método para multiplicar matrices, existe una disposición más llamativa: se sube la matriz de derecha, y se escribe el producto debajo de ella:

La figura ilustra el hecho siguiente: si C = AB, el coeficiente de la matriz C en la línea i y la columna j es el producto de la línea i de A y de la columna j de B. ( en la figura: i = 1 y j = 2).

Matemáticamente, la fórmula se escribe :  c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}

Esto es posible sólo cuando el número de líneas de B, es decir, la dimensión del espacio de salida de B, es igual al número de columnas de A, que es la dimensión del espacio de entrada de A.


Matrices encadenadas.png

El caso es parecido cuando se compone dos funciones f y g: En g⊗f, la imagen de f (Im f) debe estar incluida en el dominio de definición de g (Dg). Si f y g son lineales, Im f y Dg son de la forma \mathbb{R}^n.

Se llama rango de la matriz la dimensión del espacio generado por sus columnas, consideradas como vectores.La dimensión es el número máximo de columnas independientes. También es la dimensión del espacio generado por las líneas, y el número máximo de líneas independientes.

Las aplicaciones lineales inversibles juegan un papel importante en las matemáticas. Para ser inversible a la izquierda y la derecha, una aplicación lineal debe tener espacios de entrada y salida de la misma dimensión, por lo tanto en el caso de las matrices, sólo pueden ser inversibles si n = p, es decir si son cuadradas. El elemento neutro del conjunto de las matrices cuadradas de orden n corresponde al neutro de las aplicaciones lineales, es decir a la aplicación identidad. Se denota In, y consta de una diagonal (la primera) rellena de 1 y el resto relleno de 0:


I_n = 
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & 1 & \cdots & 0 \\
  \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}


Autor: M.Romero Schmidtke