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Magnitud aparente (m), es la magnitud de una estrella estimada por el ojo humano. Éste es capaz de catalogar en orden de brillo y distinguir cuando dos estrellas tienen el mismo brillo o una estrella y una fuente artificial. Hoy día se utilizan los fotómetros que nos permiten medir magnitudes con mucha precisión. El brillo de un objeto celeste medido por un observador es la magnitud aparente (m). Si m no lleva ningún subíndice se asume que se trata de la magnitud visual.

La escala de brillo estelar que se sigue utilizando hoy día en astronomía fue creada en el siglo II antes de nuestra era o quizás antes por el astrónomo griego Hiparco de Nicea (180-110 a. C.), cuando no existían ni indicios sobre las unidades físicas de medición de la energía luminosa. Hiparco dividió las estrellas en seis clases de magnitudes que hoy designamos por los números 1-6. Hay que hacer constar que estos números no tienen nada que ver con los tamaños reales de las estrellas. Según Hiparco, las estrellas de primera magnitud eran las más brillantes, mientras que las de la sexta estaban en el límite de la percepción visual, colocándose entre estos extremos las demás. Fue Sir John Frederick William Herschel (1782-1871) quien advirtió que, por término medio, la intensidad luminosa de la primera magnitud es cien veces superior a la sexta, o sea, para obtener el brillo aparente de una estrella de primera magnitud, es necesario reunir cien de sexta. Partiendo de esto y de la ley de Feschner, según la cual la sensación crece en progresión aritmética al crecer la excitación en progresión geométrica, Norman Pogson (1829-91) determinó que la relación entre las intensidades luminosas de una magnitud y la siguiente debía permanecer constante.

Así pues, podemos escribir:

I₁/I₂ = k, de donde I₁ = k × I₂

Y también

I₂/I₃ = k, de donde I₂ = k × I₃

I₃/I₄ = k, de donde I₃ = k × I₄

I₄/I₅ = k, de donde I₄ = k × I₅

I₅/I₆ = k, de donde I₅ = k × I₆

si sustituimos sucesivamente los valores de las intensidades intermedias, tenemos:

I₄ = k × k × I₆ = k² × I₆

I₃ = k × k² × I₆ = k³ × I₆

I₂ = k × k ³ × I₆ = k⁴ × I₆

I₁ = k × k⁴ × I₆ = k⁵ × I₆

y como hemos apuntado anteriormente

I₁=100 × I₆, luego k⁵ = 100. Tomando logaritmos decimales en ambos términos, tenemos:

5 × log k = log 100; pero log 100 = 2,

luego log k = 2/5 = 0,4, entonces k = antilog 0,4 = 10^0,4 y por tanto k = 2,511886 que sustituido en I₁/I₂ = k nos dice que la relación entre intensidades luminosas de dos estrellas que difieren en una magnitud es igual a 2,511886 y, en general, para una diferencia de magnitudes m₂ – m₁, tendremos:

I₁ / I₂ = k ^{(m₂ — m₁)}

Siendo I₁ m₁: brillo y magnitudes de la estrella más brillante

I₂ m₂: brillo y magnitud de otra de brillo inferior

Nos queda:

I₁ / I₂ = 2,511886 ^{(m₂ — m₁)} [1]

Como es de suponer, la relación de intensidades se mantiene constante sean cual sean las unidades en que se mida ésta. Esto nos permite elegir las que nos parezca más conveniente. No obstante y por comodidad de cálculo vamos a mejorar la presencia de nuestra ecuación tomando logaritmos en ambos miembros:

log(I₁ / I₂) = (m₂ — m₁) × log 2,511886; pero log 2,511886 = 0,4

log I₁ — log I₂ = 0,4 × (m₂ — m₁) [2]

Y esta nueva expresión constituye la ley de Pogson que dice "la diferencia de magnitud entre dos estrellas es proporcional a la diferencia de los logaritmos de sus brillos aparentes". Comparemos ahora una estrella de 6.ª magnitud con otra cualquiera de magnitud m y brillo B.

log B — log 1 = 0,4 × (6 — m); log B = 2,4 — 0,4m [3]

Luego dada la magnitud de una estrella podemos conocer su brillo B mediante esta última expresión, e inversamente si despejamos m de ella

m = (2,4 — log B) / 0,4 [4]

Estas dos fórmulas pueden servirnos para conocer la magnitud conjunta de dos o más estrellas. Si además de conocer la magnitud de una estrella, conocemos la distancia que nos separa de ella, estamos en condiciones de averiguar la magnitud y brillo que presentaría a otra distancia, tanto inferior como superior a la real. Esto es posible gracias a que el brillo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, o sea:

d²₂ / d²₁ = B₁ / B₂ [5]

Todo esto es utilizado en Astronomía para comparar estrellas entre sí, según su luminosidad intrínseca. Solo se ha tenido en cuenta el brillo estelar en la observación directa desde la Tierra. Puede ocurrir, y así es, que una estrella aparente ser muy brillante debido a su proximidad, y otra aparece como muy débil por su gran lejanía, pudiendo en realidad ser mucho más luminosa que la primera. Así pues, una comparación en estos términos sería totalmente errónea, y para solucionarlo los astrónomos han introducido el concepto de magnitud absoluta.

Si conocemos la magnitud absoluta, que llamamos M, y su distancia d, podemos deducir que magnitud aparente m, tendrá esa estrella.

Recordemos las expresiones

log(B₁ / B₂) = (m₂ — m₁) × 0,4 y (d²₂ / d²₁) = B₁ / B₂

Si sustituímos en la primera relación de los brillos por la del cuadrado de las distancias

log(d²₂ / d²₁) = (m₂ — m₁) × 0,4

Con el subíndice 2 indicaremos a una estrella situada a 10 parsec cuya magnitud m₂ será la absoluta y que llamamos M, como hemos visto anteriormente:

log (10² / d²) = (M — m) × 0,4

Tomando logaritmos tenemos,

2 × log 10 — 2 × log d = 0,4 × M — 0,4 × m

2 — 2 × log d = 0,4 × M — 0,4 × m, multiplicando ambos miembros por 2,5 resulta:

5 × 5 × log d = M — m y por tanto:

m = M — 5 + 5 × log d [6]

Lógicamente si conocemos la magnitud aparente, la magnitud absoluta resulta ser:

M = m + 5 — 5 × log d [7]

estando la distancia d, expresada en parsec. Es claro que si se conocen las magnitudes aparentes y absolutas, se puede determinar la distancia d,

log d = ((m — M)/ 5) + 1 [8]

Ejemplos. "Calcular la magnitud conjunta del sistema 47 Tauri, cuyas dos componentes son de m₁ = 4,9 y m₂ = 7,4"

Calculamos sus brillos por [3] y los sumamos:

Log B₁ = 2,4 — 0.4 × 4,9 = 0,44; B = 2.7542

Log B₂ = 2,4 — 0,4 × 7,4 = — 0,56; B = 0.2754, luego B_total = 3.0296, y por [4] hallamos la magnitud conjunta de las dos estrellas:

m = (2,4 — log B)/0,4 = (2,4 — 0,48)/0,4 = 4.8

También se puede obtener la magnitud combinada por medio de la siguiente fórmula:

m = — 2,511886 × log(10 ^{(—0,4 × m₁)} + 10^{(—0,4 × m₂)} + ...) [9]

Que aplicado a nuestro ejemplo proporciona

m = — 2,511886 × log(10^{(—0,4 × 4,9)} + 10^{(—0,4 × 7,4)}) = — 2,511886 × log(10^—1,96 + 10^—2,96) = —2,511886 × log(0,01096 + 0,00110) = —2,511886 × log(0,01206) = -2,511886 × -1,91865 = 4,82

o bien por

m = m₁ —2,511886 × log(1 + antilog(—0,4 × (m₂ — m₁))) [10]

Si buscamos esta estrella en un catálogo, la encontraremos con magnitud 4,84.

"El Sol dista de nosotros 149.597.870 km y tiene una magnitud de —26,75. Calculemos la que nos presentaría a 100 veces esa distancia".

Por la [3] hallamos su brillo que es 1.2589 × 10¹³ y por [5]

B₂ = (149597870)² × 1.2589 × 10¹³ / (1.4959787 × 10¹⁰)²

luego B₂ = 1.258.925.412, es decir 10.000 veces menor, y por [4] m = - 16.75, diez magnitudes menor.

Veamos ahora cuantas veces es mayor Rigel (19 β Ori) que nuestro querido Sol. La magnitud visual de Rigel es +0,12 y dista de nosotros unos 910 años luz o 279,01 parsec. Calculamos primeramente su magnitud absoluta. Por [7] obtenemos M = —7,11. Por [1] vemos cuantas veces más brilla Rigel que el Sol, encontrando que es 59703,41 veces más brillante.

Es evidente que la energía emitida por una superficie depende de la extensión de la misma. Así pues, la luminosidad de una estrella será por tanto, proporcional al área de un disco de diámetro D, el de la estrella. El área de un disco de diámetro D es igual a (π × D²)/4. Conociendo la luminosidad del sol, su temperatura y su diámetro, es posible conocer el diámetro de cualquier estrella, si conocemos su luminosidad L y su temperatura T por medio de L = (π × σ × D² × T⁴)/4, donde σ es una constante de proporcionalidad. El factor (π × σ)/4 es constante y lo vamos a llamar Cte. Con lo que la fórmula anterior no queda

L = Cte × D² × T⁴

Solamente nos interesa el diámetro D en esta fórmula ya que los demás valores son conocidos, la luminosidad (L) se obtiene al conocer la magnitud absoluta (M), la temperatura (T), por su tipo espectral. Solo nos falta conoce Cte. Esta constante vale para todas las estrellas, luego para el Sol también. Vamos a convenir que para el Sol L = 1, D = 1 y T = 5770 K, por lo tanto Cte = 5770^—4. Y ya estamos en condiciones de calcular el diámetro de Rigel, ya que L = 59703,11; T = 12000 K y Cte = 5770 ^—4.

D = (L / Cte × T⁴)^1/2 = 56,49 veces mayor que el Sol. Una simple multiplicación por el diámetro del Sol, que es 1.392.000 km, nos indica que el diámetro de Rigel es de 78.634.000 km.

Y ya que hemos obtenido la magnitud conjunta de la estrella 47 Tauri, encontrandola igual a 4,8, calculemos su magnitud absoluta, sabiendo que su paralaje π = 0"0123.

Como en [7] nos pide el log d y aquí nos dan la paralaje, vamos hacer una pequeña transformación en [7] para utilizar el dato suministrado. Como π = 1/d, luego d = 1/π, que puesto en [7]

M = m + 5 — 5 × log (1/π) = m + 5 — 5 × 0 —log π) = m + 5 + 5 ×log π

M = m + 5 + 5 × log π'

que es otra forma de obtener la magnitud absoluta, cuando conocemos la paralaje.

M = 4,8 + 5 + 5 × log 0"0123 = 9,8 + 5 × —1,91 = 9,8 — 9,55 = 0,25

En el catálogo figura con magnitud absoluta de +0,3 y por último para comprobar, por [8]

log d = (m - M)/5 + 1 = (4,8 - 0,25)/5 + 1 = 1,91

luego d = antilog 1,91 = 81,3 parsec.