La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Mínimo común múltiplo

De la Enciclopedia Libre Universal en Español
Saltar a: navegación, buscar

Descripción resumida

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200,

6936 = 23 · 3 · 172
1200 = 24 · 3 · 52

podemos inferir que su m.c.m. es 24 · 3 · 52 · 172 = 346 800.

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

m.c.m.(a, b) = \frac {a \cdot b}{m.c.d.(a, b)}

El m.c.m. se emplea para sumar fracciones de distinto denominador, por ejemplo,

\frac {1}{6}+\frac {1}{33}=\frac {11}{66} + \frac {2}{66} = \frac {13}{66}

Definición

Se llama mínimo común múltiplo de varios números al número menor que es múltiplo común de todos ellos.

Así el menor múltiplo (m.c.m.) de 25,50 y 100 será 100.

Propiedades básicas

|1| Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor el cociente es el mínimo común múltiplo.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los números A y B que descompuestos en números primos será A=(CxD)xExF y B=(CxD)xGxH donde si m.c.d. es (CxD) y el producto de AxB=(CxD)xExFx(CxD)xGxH donde vemos que (CxD) esta repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (CxD) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su m.c.m.

|2| El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.

|3| El mínimo común multiplo de dos números primos es el total de su múltiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.

|4| El mínimo común multiplo de dos números primos entre si es el total de su múltiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.

|5| El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.

|6| El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo común múltiplo.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los números A y B que descompuestos en números primos será A=(CxD)xExF y B=(CxD)xGxH donde y su m.c.d. es (CxD) resultando que el menor múltiplo común estará formado por los factores primos entre si (ExFxGxH) por (CxD), siendo este último factor su máximo común divisor.

Las propiedades operativas del mínimo común múltiplo son similares a las del máximo común divisor, ya que este, está incluido en el mínimo común múltiplo.

Reglas de cálculo del m.c.m.

El cálculo del m.c.m. de más de dos números, consiste en hallar el de dos de ellos y después hallar el m.c.m. del siguiente número con el m.c.m. de los dos primeros y así sucesivamente hasta el último número.

En líneas sucesivas explicaremos los métodos más usados para el calculo del m.c.m., ya que para hallar el de varios, tendremos que calcular antes el de dos de ellos.

Los procedimientos más usados son: por descomposición en números primos y por división con el m.c.d.

  • |1| Método de descomposición en números primos.

Consiste en descomponer los dos números en factores primos.

Se toman los primos no comunes por un lado.

Se buscan los comunes de cada número en la misma cantidad.

Como el total de los factores primos comunes y no comunes es el menor múltiplo de los mencionados números, tendremos el m.c.m. de ellos.

Como la descomposición de un número en primos, muchas veces, los primos repetidos se expresan en forma potencial, lo enunciado anteriormente se expresa de la siguiente forma:

Para hallar el m.c.m. de dos números, se descomponen en factores primos ,se toman los factores no comunes y los comunes con el mayor exponente.

Ejemplo: hallar el m.c.m de 25 y 155 donde 25=5^2 y 155=5x31. Los comunes con el mayor exponente es 25 y los no comunes es 31 resultando que 25x31= 775 que es el m.c.m

  • |2| Método de dividir por el m.c.d.

Consiste en hallar el máximo común divisor por descomposición en números primos o divisiones sucesivas.

Se halla el producto de los dos números, de los que deseamos hallar el m.c.m., luego su total se divide por el m.c.d.

Ejemplo: El m.c.d. de 25=5x5 y 155=5x31 es 5 y el producto de 25x155=3875 que dividido por 5 dará 775 que es el m.c.m.

Referencias

Bibliografía

  • Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
  • Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
  • González Aguilar. Matemáticas. 
  • Chavez Reyes, Carmen y León Quintanar, Adriana. La Biblia de las Matemáticas. 

Otras fuentes de información

Notas