La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Máximo común divisor

De la Enciclopedia Libre Universal en Español
Saltar a: navegación, buscar

Descripción resumida

El máximo común divisor (m.c.d.; mcd) de dos o más números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos. Para el cálculo del máximo común divisor de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente.

Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200,

6936 = 23 · 3 · 172  
1200 = 24 · 3 · 52

podemos inferir que su m.c.d. es 23 · 3 = 24

Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el algoritmo de Euclides.

Usos

El m.c.d. se emplea para simplificar fracciones, por ejemplo

30/42 = (2·3·5)/(2·3·7) = 5/7.

Aquí, m.c.d.(30, 42) = 6, así que se divide el numerador y el denominador de la fracción inicial por 6 para obtener la fracción simplificada.

Propiedades geométricas

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

El m.c.d. de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).

Definición

El divisor mayor que divide exactamente a varios números se le llama máximo común divisor de ellos.

Varios números, no primos entre si, tendrá uno o varios divisores, el mayor de ellos es el máximo común divisor (m.c.d).

Ejemplo: 12 y 18 donde 12=2x(2x3) y 18=(2x3)x3 resultando que 2x3=6 es su m.c.d.

Propiedades básicas

|1| Si tenemos dos o más números y el menor divide a todos, este es su m.c.d. Esto es evidente ya que existiera otro superior no dividiría al menor y por consiguiente no sería un divisor común a todos.

|2| Dos o más números primos, su m.c.d. es la unidad. Es lógico, ya que los números primos el único factor común que tienen es la unidad.

|3| Dos o mas números primos entre si, su m.c.d es la unidad. Es evidente ya que los primos entre si solo tienen en común la unidad.

|4| Varios números compuestos tendran como m.c.d los divisores comunes del menor que dividan a todos.

DEMOSTRACIÓN:

Es evidente que varios números compuestos y no primos entre si, el número que tendrá menos divisores comunes será el menor al tener menos unidades; luego buscando entre los divisores del menor los que dividen a todos tendremos el m.c.d. de todos.

Procedimientos de cálculo del m.c.d.

El cálculo del m.c.d de varios números consistiria en ordenarlos de menor a mayor y despues hayar el m.c.d de los dos más pequeños y despues seguir hayando el m.c.d entre el siguiente número y el último m.c.d hayado y seguir así sucesivamente hasta el último número.

Teniendo un método de cálculo para varios números, nos concentraremos en hayar el m.c.d. para dos números, ya que no podremos hayar el m.c.d. de varios números si antes no hayamos el de dos.

Los métodos más utilizados para hayar el m.c.d son el de descomposición en números primos y el de divisiones sucesivas.

  • |1| Método por descomposición en números primos.

Sabemos que:

Todo número compuesto se puede descompones en un único producto de factores primos.

Dos números serán divisibles si los primos del divisor estan en el dividendo.

Los divisores de un divisor son dividores de este.

Luego si tenemos dos números compuestos estructurado en un producto de números primos, los factores primos incluidos en el menor, que estan en el mayor son su m.c.d.

Como al descomponer varios números en un producto de factores primos, algunos de ellos están varias veces contenidos en el, es común representar esos primos en forma de potencia de ese primo.

Ejemplo: 24=2.2.2.3=2^3x3.

Así la regla anterior se puede enunciar de la siguiente forma:

Para hayar el m.c.d de varios números se descomponen en factores primos y se toman los comunes con su menor exponente.

Ejemplo: Hayar el m.c.d de 36 y 40.

Tenemos que 36=2x2x3x3=2^2x3^2 y 40=2x2x2x5=2^3x5 donde los comunes son el 2^2=4 que es su m.c.d.

  • |2| Método por divisiones sucesivas.

Si tenemos dos números A y B donde A=BxC entonces B es su m.c.d.

Si B no divide a A resultará que A=(BxC)+R donde si R no divide a A no dividira a (BxC) ni a B, ya que R se divide a si mismo y al no dividir los dos sumandos no divide al total, según la propiedad de divisibilidad de la suma.

Si dividimos B por R resultará que si R divide a B entonces R dividira a A ya que divide a (BxC) y R según divisibilidad de la suma.

En el caso de no dividor R a B tendriamos que B=(RxD)+R’ y procederiamos a la misma operación, hasta llegar a un resto que divida al anterior resto y este será el m.c.d.

Al efectuar las divisiones sucesivas de A por B habriamos creado esta estructura:

A=(BxC)+R B=(RxD)+R’ donde A=(((RxD)+R’)xC)+R=RDC+CR’+R R=(R’xE)+R’’ donde A=(RDC+CR’+R)+(R’E)+R’’ y si R’’ divide a R, divide a todos los sumandos ya que todos contienen a R’’ al dividir R’’ a R.

Esto se puede enunciar así:

Para hayar el m.c.d de dos números se divide el mayor por el menor y si este es divisor es el m.c.d; en el caso contrario se procede entre el divisor y el resto hasta llegar a un resto que divida al anterior, siendo el resto último el m.c.d.

Ejemplo: 15 y 9 tendremos que 15=(9x1)+6, 9=(6x1)+3 y 6=(3x2) luego 3 es el m.c.d.

Propiedades operativas de números con m.c.d

|1| La suma de dos números que tienen un m.c.d es igual al producto del m.c.d por la suma del producto de los primos no comunes de cada .

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que tienen un m.c.d (CxD) y su descomposión en primos es A=CxDxExF y B=CxDxGxH.

Si sumamos A+B=(CxDxExF)+(CxDxGxH)=(CxD)x((ExF)+(GxH)) según propiedad distributiva de la suma.

|2| La resta de dos números que tienen un m.c.d es igual al producto del m.c.d por la resta del producto de los primos no comunes de cada .

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que tienen un m.c.d (CxD) y su descomposión en primos es A=CxDxExF y B=CxDxGxH.

Si restamos A-B=(CxDxExF)+(CxDxGxH)=(CxD)x((ExF)-(GxH)) según propiedad distributiva de una resta.

|3| La multiplicación de dos números que tienen un m.c.d es igual al cuadrado del m.c.d por el producto de los factores no comunes.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que tienen un m.c.d (CxD) y su descomposión en primos es A=CxDxE y B=CxDxG.

Si multiplicamos AxB=(CxDxE)x(CxDxG)=(CxD)x(CxD)x(E+G)=(CxD)^2x(ExG) que es lo que deseabamos demostrar.

|4| Si dividimos dos números que tienen un m.c.d se obtiene una fracción irreducible que tiene por númerador los factores no comunes del dividendo y por denominador los no comunes del divisor.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que tienen un m.c.d (CxD) y su descomposión en primos es A=CxDxE y B=CxDxG.

Si dividimos A/B=(CxDxE)/(CxDxG)=(E/G) que es lo que deseabamos demostrar.

Propiedades variativas del m.c.d

|1| Si multiplicamos por un número, otros que tienen un m.c.d común, este queda multiplicado por dicho número.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que tienen un m.c.d (CxD) y su descomposión en primos es A=CxDxE y B=CxDxG y otro factor K que multiplicamos por A y B.

Si multiplicamos AxK y BxK resulta que (CxDxE)xK=(CxDxExK)=(CxDxK)xE y (CxDxG)xK=(CxDxG)xK=(CxDxGxK)=(CxDxK)xG donde se ve que (CxDxK) es el m.c.d y esta multiplicado por K, que es lo que deseabamos demostrar.

|2| Si dividimos varios números por su m.c.d los cocientes son primos entre si.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que tienen un m.c.d (CxD) y su descomposión en primos es A=(CxD)xE y B=(CxD)xG y los dividimos por (CxD) tendremos que los cociente E y G son primos entre si al ser primos.

|3| Los divisores comunes a varios números son los divisores de su m.c.d.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B, que tienen un m.c.d (CxD), su descomposión en primos es A=(CxD)xE y B=(CxD)xG si hubiera un divisor que no fuera comun al m.c.d (CxD) tendría que dividir a E y G cosa imposible ya que son primos.

|4| Si dividimos de forma exacta por un número, otros que tienen un m.c.d común, este queda dividido por dicho número.

DEMOSTRACIÓN:

Como los divisores comunes a varios números A y B son los de su m.c.d según lo enunciado en la propiedad anterios, el número que divide a A y B solo dividirá al m.c.d. de ambos.

|5| Si elevamos a una potencia N, varios números con un m.c.d. común, los totales contienen al m.c.d elevado a N y los primos entre si también. Las potencias de los primos entre si también son primos entre si.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que tienen un m.c.d (CxD) y su descomposión en primos es A=(CxD)xE y B=(CxD)xG y las elevamos al exponente N dará:

An=((CxD)xE)^n=(CxD)^nx(E)^n y B^n=((CxD)xG)^n=(CxD)^nx(G)^n donde se ve que m.c.d está elevado a N y los primos entre si también y E^n con G^n serán primos entre si al no tenen ningún factor común.

|6| El producto del máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de ellos.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los número A y B que su descomposión en primos es A=CxDxE y B=CxDxG, su m.c.d. será los factores comunes (CxD) y el m.c.m. será el producto de los no comunes por el m.c.d. que es (CxD)x(ExG).

El producto de AxB=(CxDxE)x(CxDxG) y el del (m.c.d)x(m.c.m)= (CxD)x(CxDxExG)=CxDxCxDxExG que tienen los mismos factores que el anterior producto de AxB.

Referencias

Fuentes empleadas y notas

Bibliografía

  • Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
  • Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
  • González Aguilar. Matemáticas. 
  • Chavez Reyes, Carmen y León Quintanar, Adriana. La Biblia de las Matemáticas. 

Otras fuentes de información



Enlace relacionado: Primos entre sí, Número natural primo, Divisibilidad