Logaritmo

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

[escribe] Logaritmo natural o neperiano

La derivada de la función

$x \to x^n \ \mbox{ es } \ x \to n \cdot x^{n-1}$

, para todo n real. Dividiendo por n y mirando al revés la relación anterior, se puede afirmar que una primitiva de

$x \to x^m \ \mbox{ es } \ x \to \frac{1}{m+1} \cdot x^{m+1}$

(con m = n - 1). Este cálculo obviamente no es válido cuando m = - 1, porque no se podrá dividir por m + 1. Por tanto la función inversa:

$x \to x^{-1} = \frac 1 x$

es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".

Sin embargo esta función es continua sobre ]0; +∞[ lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre ]-∞ ; 0[.

Se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de

$x \to \frac 1 x$

que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1. En resumen:

$\forall x > 0 , \ \ln' x = \frac{1}{x} \ \mbox{ con } \ \ln 1 = 0. \$

[escribe] Propiedades

El logaritmo es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva, y tiene límites infinitos en 0⁺ y en +∞.

La tangente T_e que pasa por el punto de abcisa e de la curva, pasa también por el origen. La tangente T₁ que pasa por el punto de abcisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x - 1.

La derivada de segundo orden es:

$\ln^{\prime\prime} (x) = - \frac{1}{x^2},$

siempre negativa, por tanto la función es concava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T₁ y T_e.

Ser una primitiva de la función inversa trae ciertas ventajas, como la propiedad fundamental:

$\ln ab = \ln a + \ln b \quad \mbox{ con } a>0, \ b>0 \quad (1)$

Esta propiedad fue la que permitió inicialmente construir la función. Cuando no existían las calculadoras, se hacían tablas de logaritmos cuyo propósito era hacer que calcular un producto fuese tan rápido como hallar una suma. En efecto, para calcular a × b, se miraba en la tabla los valores de ln a y de ln b, se sumaban, y se miraba el número cuyo logaritmo se aproximaba más a dicha suma. La regla de cálculo utilizaba el mismo proceso.

Prueba: Sea

f (x) = ln(a x) - ln x

. Al derivar se obtiene:

$f'(x) = a\cdot\frac{1}{ax} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$

, lo que significa que f es constante en el intervalo ]0, + ∞[. En consecuencia f(b) = f(1), es decir: ln ab - ln b = ln a - ~~ln 1~~.

Consecuencias:

$\ln \frac{1}{a} = - \ln a \quad (2)$

$\mbox{En efecto: } \ln a + \ln \frac{1}{a} = \ln \left ( a\cdot\frac{1}{a} \right) = \ln 1 = 0$

$\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b \quad (3)$

$\mbox{En efecto: } \ln \frac{a}{b} = \ln \left(a\cdot\frac{1}{b}\right) = \ln a + \ln \frac{1}{b} = \ln a - \ln b$

$\ln \left(a^n\right) = n\cdot\ln a \quad (4)$ para cualquier valor real de n

Esto se demuestra por inducción para todo n entero natural, y luego para todo n entero, con (2), y luego para todo n racional, utilizando (3). La continuidad del logaritmo hace que una relación cierta en los racionales es también válida en los reales, gracias a que Q es denso en R, lo que acaba la prueba.

Esta última relación permite resolver ciertas ecuaciones con la incógnita en el lugar de las potencias.

Así por ejemplo, la ecuación

$a^x = b \$

tiene como solución, para a ≠ 1, a > 0 y b > 0 :

$x = \frac{\ln b}{\ln a}$

La función recíproca del logaritmo es la exponencial.

[escribe] Otros logaritmos

Se llama logaritmo en base a a la función:

$x \longmapsto \frac{\ln x}{\ln a}$

. Su recíproca es:

$x \longmapsto a^x$

.

El logaritmo natural corresponde a la base e, puesto que ln e = 1.

En la práctica, se emplea mucho el logaritmo decimal, denotado log (log 10 = 1), en ciencias que emplean abundantemente las matemáticas, como la química (medida de la acidez :pH...), y en física : medida de la luminosidad, del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), en electrónica...

Autor: M.Romero Schmidtke