Ley del péndulo

Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s^-2), y sujeto a pequeñas oscilaciones.

El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:

$T = 2\pi \sqrt{\frac l g}$

Prueba:

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

La energía cinética del péndulo es :

$E_c = \frac {m \cdot v^2} 2 = \frac {m\cdot l^2\cdot \dot \theta^2} 2$

.

Se puede tomar su energía potencial igual a:

$E_p = - m \cdot g \cdot l \cdot \cos \theta$

.

Este sistema no pierde energía, por lo tanto E_c + E_p es constante (1).

Al derivar (1) se obtiene:

$m \cdot l^2 \cdot \dot \theta \cdot \ddot \theta + m \cdot g \cdot l \cdot \dot \theta \cdot \mbox{ sen } \theta = 0$

(2).

Se puede simplificar (2) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:

$l \cdot \ddot \theta + g \cdot \mbox{ sen } \theta = 0$

(3).

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede remplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ³ (porque sen θ = θ + O(θ³)).

Entonces (3) equivale a:

$l \cdot \ddot \theta + g \cdot \theta = 0$

o sea

$\ddot \theta = - \frac g l \cdot \theta$

(4)

Un movimiento oscilatorio sigue la ley θ = θ_M·sen (ω·t + φ) lo que implica que θ" = - ω²·θ. (5) (ω es la velociad angular de la ley y θ_M el ángulo máximo)

Identificando (4) y (5) se obtiene

$\omega^2 = \frac g l$

, es decir

$\omega = \sqrt{ \frac g l }$

.

Se concluye recordando que

$T = \frac {2\pi} {\omega}$

.

Autor: M.Romero Schmidtke