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Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Se atribuye a Max Zorn la afirmación siguiente:

Si en un conjunto parcialmente ordenado toda cadena está acotada superiormente, el conjunto tiene un elemento maximal.

Tenemos un conjunto X y definida en él una relación de orden parcial, es decir, una relación R que es reflexiva (xRx para todo x de X) transitiva (xRy e yRz implican xRz) y antisimétrica (si xRy e yRx entonces x = y). (Al leer "R" conviene imaginarse un signo "menor o igual".)

El orden no tiene por qué ser total, es decir, puede ocurrir que haya pares de elementos no relacionados entre sí. El ejemplo típico es X = alguna familia de conjuntos y R = la inclusión de conjuntos.

Se define una "cadena" en X como un subconjunto Y de X tal que en Y el orden R sea total (es decir, dados dos elementos x e y de Y, siempre ocurre que xRy o yRx).

Una "cota superior" de un subconjunto Y de X es un elemento c de X mayor o igual que cualquier elemento de Y (es decir, yRc para todo y de Y). El "supremo" s de Y, si existe, es la menor de las cotas superiores de Y (sRy para toda cota superior y de Y).

Finalmente, un "elemento maximal" de X es un elemento m de X para el que no hay ningún elemento de X mayor que él. O sea, si mRx entonces m = x. En este punto suelen producirse confusiones, no es cierto necesariamente que m sea mayor que todos los elementos de X, pues puede ocurrir que no sea comparable con algunos de ellos. El elemento m es mayor que todos aquellos x que sean comparables con él.

Un ejemplo es éste: consideremos como X el círculo de radio 1 centrado en el origen. Decimos que un punto p es menor o igual que q (pRq) si ambos están en el mismo radio y q está más cerca del borde (su distancia al origen es mayor o igual que la de p). Si dos puntos no están en el mismo radio entonces no son comparables. Cualquier conjunto de puntos contenido en un radio es una cadena. Cualquier punto del borde es maximal, aunque no es mayor que todos los puntos de X (no es comparable con todos), pero sí es mayor que cualquier punto comparable con él.

Finalmente, el lema de Zorn dice que si en un conjunto X toda cadena admite supremo (en X) entonces X contiene algún elemento maximal.

De hecho, se cumple un resultado aparentemente más fuerte: si X cumple las condiciones del lema de Zorn entonces para todo elemento x de X existe un elemento maximal de X mayor que x. Para demostrarlo basta aplicar el lema de Zorn al conjunto de los elementos que son mayores o iguales que x.

En los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, el axioma de elección se puede sustituir por el lema de Zorn.