La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Intervalo (matemáticas)

De la Enciclopedia Libre Universal en Español
Saltar a: navegación, buscar

Los intervalos son los subconjuntos conexos de R. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la propiedad siguiente:

si x e y pertenecen a I, con xy, entonces para todo z tal que xzy, z pertenece a I.

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos, abiertos y cerrados) o según su características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).

Existen dos notaciones en España: [a; b) o [a; b[ para representar el conjunto de los x tal que ax < b. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientrás que b no.

intervalo

También existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y (1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo enmedio.

Aquí están todos los casos posibles, con ab, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

  1. [a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.
  2. [a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto), de longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.
  3. ]a, b] o (a, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a. a < x ≤ b.
  4. ]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x < b.
  5. ] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b.
  6. ] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤ b.
  7. [a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.
  8. ] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.
  9. ] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a la vez abierto y cerrado, de longitud infinita. x pertenece a R.
  10. {a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. (corresponde al caso a = b). x = a
  11. {} = ∅ el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.

Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:

Si I = ]a, b[, su centro es
, y su radio es
.

a < x < b equivale a |x - c| < r (donde | | designa el valor absoluto); y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r.

Se nota
; B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.
De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:
. Es la clausura topológica de la bola abierta B(c,r).

Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varian su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunto permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.

Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].

Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las desigualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - d. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - d ].

Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y  I / J = [ a/d, b/c ].


Autor: M.Romero Schmidtke, con un pequeño añadido de Aburayama