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Integral y función primitiva

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Función primitiva

Definición

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo[1].

F es la función primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F′ = f. También se emplea la palabra antiderivada en un contexto más abstracto.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Método de cálculo

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales primitivas:

Función F:
Primitiva de f
función f:
Derivada de F
, para todo n ≠ -1
, para todo n ≠ 1
, para todo a > 0 y a ≠ 1
donde:a es una constante
cos es el coseno
e es el número e
ln es el logaritmo neperiano
n es un número natural
y sen es el seno

Por ejemplo, busquemos una primitiva de xx(2-3x). Al no tener disponible la evaluación de las primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2-3x) = 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k.

Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Propiedades

integral de una función impar

La primitiva de una función impar es siempre par.

En efecto, como se ve en la figura a la derecha, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así:

F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar.

Por tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.


integral de una función par


La primitiva F de una función f par es impar si se fija F(0) = 0.

En efecto, según la figura a la izquierda, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0).

Como F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.


La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

primitiva de una función periódica

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).

En términos de primitivas, significa que es una constante, que se puede llamar A.

Entonces la función: es periódica de período T. En efecto:
Por consiguiente   es la suma de G, periódica, y de , lineal.
área constante bajo una función periódica


Integral de una función

Definición

Al diferir las primitivas de una misma función f en una constante sólamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:


A este valor se le denomina integral de f entre a y b .

La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el aréa entre la curva de f, el eje de las x, y dos rectas verticales x = a y x = b: este es el teorema fundamental del análisis.

interpretación geométrica de la primitiva

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebráica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de las x.

integral de una función que cambia de signo

La relación de Chasles

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos ( con a < b < c ) como analíticos, tiene como consecuencia:

La segunda fórmula se interpreta facilmente: el área entre las rectas x = a y x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas.

La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace.

Integración por partes

cuando no se conoce la primitiva de una función, se puede recurrir a la propiedad siguiente, llamada integración por partes, para calcular una integral:

en esta fórmula u y v son funciones derivables y de derivadas u' y v' continuas (o al menos integrables). El corchete es una escritura abrevada de una diferencia: con F una función definida sobre [a;b].

Por ejemplo busquemos la integral : La función u(t) = t tiene como derivada u'(t) = 1, y la función v(t) = et es su propia derivada: v'(t) = v(t). Entonces, aplicando la fórmula se obtiene:
.
De paso hemos obtenido que x → xex - x es una primitiva de x → xex, lo que no se sabía de antemano: La integración por partes permite hallar primitivas de una función dada.

Cálculo aproximativo de una integral

Cuando no se ha logrado encontrar la primitiva de una función , queda siempre la posibilidad de contentarse con un cálculo aproximativo. el método más sencillo consiste en remplazar el área cuya superficie se quiere medir por unos rectángulos adyacientes "de pie" de misma anchura h y de altura dada por la función que se quiere integrar. En la figura de la izquierda, los rectángulos tienen como alturas f(0), f(0,5), f(1) ... f(3), como anchura común 0,5, y la suma de sus superficies, 0,5 × (f(0) + f(0,5) + ... + f(3)) es una aproximación de . Aproximación integral por rectángulos 2.png

Cuanto más estrechos son los rectángulos, mejor es la aproximación: la diferencia entre el valor exacto y la aproximación es la suma algebraica de las pequeñas superficies (triángulos con un lado curvo) situados entre la los rectángulos y la curva de f (coloreados en rosado y azul claro en la segunda figura).

Con
, n entero no nulo, la integral
es aproximada por la suma , llamada suma de Riemann.

Integración de una recíproca

Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f.
Entonces tenemos la relación:

integral de la función recíproca

El área color malva es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).
Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1, aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x.
El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni siquiera hace falta conocer la expresión de la recíproca.

Referencias

Bibliografía

Otras fuentes de información

Notas

  1. O, en general, sobre el mismo dominio.