Integral de Wallis

Definición

Se llaman integrales de Wallis a las términos de la sucesión de integrales:

.

La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral, $y = \frac \pi 2 - x$ y luego renombrando $y \$ en $x \$.

Propiedades elementales

Los términos $w_n \$ son positivos no nulos porque las funciones $f_n(x) = x \mapsto \operatorname{sen}^n x$ lo son sobre el intervalo $\left ]0; \frac \pi 2 \right ]$ . La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre $\left ]0; \frac \pi 2 \right [$, sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión $n \mapsto r^n$ decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia: $w_{n+1} - w_n = \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^{n+1} x \, dx - \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^n x \, dx$$= \int_0^{\frac \pi 2} ( \operatorname{sen}^{n+1} x - \operatorname{sen}^n x)\, dx$$= \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^n x (1 - \operatorname{sen} x)\, dx < 0$ porque sobre $\left ]0; \frac \pi 2 \right [, \ sen^n x < 0, \mbox{ y } 1 - sen x > 0$ luego la integral de una función continua negativa no nula es negativa.

la función $f_n \,$ tiende hacia 0 para todo x en $\left [0; \frac \pi 2 \right [$ cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto $\left [0; \frac \pi 2 \right ] , \lim_{n \rightarrow + \infty}w_n$$= \lim_{n \rightarrow + \infty} \int_0^{\frac \pi 2} f_n (x) \, dx$$= \int_0^{\frac \pi 2} \lim_{n \rightarrow + \infty} f_n (x) \, dx$$= \int_0^{\frac \pi 2} 0 \, dx = 0$

Formas explícitas de las integrales de Wallis

Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente: $w_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2$ y $w_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen} x\, dx$$= [- \cos x]_0^{\frac \pi 2}$$= - cos \frac \pi 2 + \cos 0 = 1$.

Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por integración por partes:

$w_{n+2} = \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^{n+2} x \, dx$$= \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^n x \cdot \operatorname{sen}^2 x \, dx$$= \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^n x \cdot (1 - cos^2 x) \, dx$$= \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^n x \, dx - \int_0^{\frac \pi 2} \operatorname{sen}^n x \cdot cos^2 x \, dx = w_n - u_n$ La integral $u_n \$ se obtiene por integración por partes: se integra $\operatorname{sen}^n x \cdot cos x \$ en $\frac {\operatorname{sen}^{n+1} x} {n+1}$ y se deriva $cos x \$ en $- \operatorname{sen} x$ :

$u_n = \left [ \frac {\operatorname{sen}^{n+1} x} {n+1} \cos x \right ]_0^{\frac \pi 2} - \int_0^{\frac \pi 2} \frac {\operatorname{sen}^{n+1} x} {n+1} (- \operatorname{sen} x) \, dx$$= 0 + \int_0^{\frac \pi 2} \frac {\operatorname{sen}^{n+2} x} {n+2} \, dx = \frac {w_{n+2}} {n+1}$

Por tanto tenemos: $w_{n+2} = w_n - \frac {w_{n+2}} {n+1}$ lo que equivale a $(n+1) w_{n+2} =(n+1) w_n - w_{n+2} \$ es decir $(n+2) w_{n+2} =(n+1) w_n \$ luego $w_{n+2} =\frac {n+1} {n+2} w_n$ lo que se escribe también ${\color{blue} w_n =\frac {n-1} n w_{n-2}}$ Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de $u_1 \$ y los de rango par en función de $u_0 \$. En concreto:

Para n impar: $n = 2k+1 \,$ y $w_n = \frac {(n-1)(n-3)...4\times 2} {n(n-2)...3\times 1} w_1$ $= \frac {(n-1){\color{red}^2} (n-3){\color{red}^2} ...4{\color{red}^2} \times 2{\color{red}^2}} {n{\color{red}(n-1)}(n-2){\color{red}(n-3)}... 3\times {\color{red}2 \times}1}$ $= \frac {{\color{red}(}(2k)(2k-2)...4\times 2 {\color{red})^2}} {n!}$ $= \frac { ( ({\color{OliveGreen}2}k)({\color{OliveGreen}2}(k-1)) ... ({\color{OliveGreen}2}\times 2 )({\color{OliveGreen}2} \times 1) )^2} {n!}$ $= \frac { ( {\color{OliveGreen}2^k} \times k! )^2 } {n!}$ $= \frac {2^{2k} \left ( k! \right ) ^2 } {n!}$ $= \frac {2^{n-1} { \left ( \frac {n-1} 2 \right ) ! } ^2 } {n!}$ porque $k = \frac {n-1} 2$; donde n! y k! son las factoriales de n y k.

Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:

$w_n = \frac {(n-1)(n-3)...3\times 1} {n(n-2)...4\times 2} w_0$ $= \frac {n(n-1)(n-2)...3 \times 2} {(n(n-2)... 4\times 2)^2} \cdot \frac \pi 2$ $= \frac {n!} {\left ( 2^{\frac n 2} \left ( \frac n 2 \right ) ! \right )^2 }\cdot \frac \pi 2$ $= \frac {n! \pi} { 2^{n+1} { \left ( \frac n 2 \right ) ! }^2 }$

Aplicación a la fórmula de Stirling

La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así: Como ya se ha visto, la sucesión $\left ( w_n \right )$ es decreciente, y $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac {w_{n+2}} {w_n} = \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac {n+1} {n+2} = 1$.

Luego $w_{n+2} < w_{n+1} < w_n \,$$\Longrightarrow \frac {w_{n+2}} {w_n} < \frac {w_{n+1}} {w_n} < 1$ lo que da $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac {w_{n+1}} {w_n} = 1$ es decir $w_{n+1} \sim w_n \,$

Tomando n par, tenemos

$w_n = \frac {n! \pi} { 2^{n+1} { \left ( \frac n 2 \right ) ! }^2 } \ \ \mbox { y } \ \ w_{n+1} = \frac {2^n { \left ( \frac n 2 \right ) ! } ^2 } {(n+1)!}$

pues n+1 es impar.

Al multiplicar las fracciones se simplifican: $w_n \cdot w_{n+1} = \frac {n! \pi} { 2^{n+1}} \cdot \frac {2^n } {(n+1)!} = \frac {\pi} {2(n+1)} \sim \frac {\pi} {2n}$ luego $w_n^2 \sim \frac {\pi} {2n}$ y sacando la raíz: $w_n \sim \sqrt{ \frac {\pi} {2n}}$

Ahora introduzcamos en $w_n \$ la equivalencia $n! \sim_{ {}_{+ \infty}} \, C \sqrt{n } \ n^n e^{-n}$.

$w_n \sim \frac {C \sqrt{n } \ n^n e^{-n} \pi} { 2^{n+1} { \left ( C \sqrt{ \frac n 2} \ \left ( \frac n 2 \right ) ^{\frac n 2} e^{- \frac n 2} \right ) }^2 } \ = \frac {{\color{red}C} \sqrt{n } \ n^n {\color{blue}e^{-n}} \pi} { 2^{n+1} { {\color{red}C^2} \ \frac n 2 \ \left ( \frac n 2 \right ) ^n {\color{blue}e^{-n}} }} = \frac { \sqrt{n } \ {\color{Orange}n^n} \pi} { {\color{OliveGreen}2^{n+1}} { C \ \frac {{ \color{Orange}n^{n+1}}} {\color{OliveGreen}{2^{n+1}}} } }$

$= \ \frac {\sqrt{n} \ \pi } { n C} = \frac {\pi} {\sqrt{n} C}$.

Comparando con el último equivalente de $w_n \$, se obtiene: $w_n \sim \sqrt{ \frac {\pi} {2n}} \sim \frac {\pi} {\sqrt{n} C}$ luego $\sqrt{ \frac {\pi} {2}} = \frac {\pi} C$ y finalmente: $C = \pi \ \sqrt{ \frac 2 \pi} = \sqrt{2 \pi}$.

Referencias

Bibliografía

• Autor: M.Romero Schmidtke
  

Notas