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Integral definida

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

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Definición

Al diferir las primitivas de una misma función f en una constante sólamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx$

A este valor se le denomina integral de f entre a y b .

La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el aréa entre la curva de f, el eje de las x, y dos rectas verticales x = a y x = b: este es el teorema fundamental del análisis.

interpretación geométrica de la primitiva

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebráica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de las x.

integral de una función que cambia de signo

La relación de Chasles

$\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos ( con a < b < c ) como analíticos, tiene como consecuencia:

$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx \qquad \mbox{y} \qquad \int_a^a f(x)\,dx = 0$

La segunda fórmula se interpreta facilmente: el área entre las rectas x = a y x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas.

La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace.