Integración por partes

Definición

La integración por partes (I.P.P. en abreviado) es un método para calcular una integral de una función cuyas primitivas se desconocen, y consiste en utilizar el teorema siguiente:

Sean u y v dos funciones reales de clase C¹ (es decir derivable y de derivada continua) definidas sobre el intervalo [a;b].
Entonces se da la relación:

$\int_a^b u(t)v'(t) \, dt = \left [u(t)v(t) \right]_a^b - \ \int_a^b u'(t)v(t) \, dt$ donde el corchete es una escritura abrevada de una diferencia:

$\left[ f(x) \right ]_a^b = f(b) - f(a)$

, con f una función definida sobre [a;b].

Se puede suponer condiciones menos restrictivas sobre u y v para aplicar esta fórmula: que sean derivables y que sus derivadas sean integrables.

La prueba del teorema es como sigue:

$(uv)' = u'v + uv' \$

luego integrando ambos miembros (que se pueden integrar según las condiciones del teorema) entre a y b: $\int_a^b \left ( u(t)v(t) \right )' \, dt = \int_a^b \left ( u'(t)v(t) + u(t)v'(t) \right ) \, dt$

Luego, recordando que una función - aquí uv - es una primitiva de su derivada, y aplicando la linealidad de la integral al miembro de la derecha, se obtiene:

$[u(t)v(t)]_a^b = \int_a^b u'(t)v(t) \, dt + \int_a^b u(t)v'(t) \, dt$

lo que da la fórmula del teorema.

Ejemplos: Las dos integrales siguientes son a menudo las primeras que se proponen en todo curso sobre la I.P.P. pues son las más sencillas que no se saben integrar buscando primitivas.

• Sea la integral
  $I = \int_a^b te^t \, dt$
  : La función u(t) = t   tiene como derivada u'(t) = 1, y la función v(t) = e^t  es su propia derivada: v'(t) = v(t). Luego el teorema da: $I = \int_a^b te^t \, dt = \left [te^t \right]_a^b - \ \int_a^b e^t \, dt = \left [te^t - t \right]_a^b = be^b - b - ae^a + a$.

• Sea $J = \int_1^x \ln \, t \, dt$. Aquí no aparece ningún producto en la integral. El truco es introducir el factor 1: $J = \int_1^x 1 \cdot \ln \, t \, dt$, luego, con
  $u(t) = \ln t, \ \ u'(t) = \frac 1 t,\$$\ v(t) = t , \ \ v'(t) = 1$
  se obtiene:
  $J = \, \left [ t \ln t \right ]_1^x \, - \int_1^x t \cdot \frac 1 t \, dt \, = \, x \ln x \, - \, 0 \, - \int_1^x 1 \, dt \,= \, x \ln x \, - \, [t]_1^x \, = \, x \ln x \, - \, x \, + \, 1$
  . Considerando x como una variable, J es una función de x, concretamente la primitiva de ln que se anula en x = 1. Esta I.P.P. permite hallar una primitiva sencilla de ln: x → x·ln x - x  (se quita la constante, inútil).

I.P.P. con integrales impropias

La integración por partes también se aplica en en caso de las integrales impropias con tal que estas últimas converjan. Esto se debe a que una integral impropia es un límite de integrales definidas y que toda igualdad, como lo es la fórmula de la I.P.P. pasa al límite. Si la singularidad se sitúa en el extremo b de la integral (por ejemplo si b es infinito) entonces:

$\forall x \in [a;b], \ \ \int_a^x u(t)v'(t) \, dt = \left [u(t)v(t) \right]_a^x - \ \int_a^x u'(t)v(t) \, dt$   implica   $\lim_{x \rightarrow b} \int_a^x u(t)v'(t) \, dt =\lim_{x \rightarrow b} \left [u(t)v(t) \right]_a^x - \ \lim_{x \rightarrow b} \int_a^x u'(t)v(t) \, dt$ lo que da, en caso de convergencia de dos de los tres términos (lo que implica la convergencia del último) $\int_a^b u(t)v'(t) \, dt = \left [u(t)v(t) \right]_a^b - \ \int_a^b u'(t)v(t) \, dt$

Ejemplos:

• $K = \int_0^{+\infty} x e^{- x} \, dx = \left [x (-e^{- x}) \right]_0^{+\infty} - \ \int_0^{+\infty} 1(-e^{- x}) \, dx$   ( con u(x) = x; u'(x) = 1; v'(x) = e^-x y v(x) = -e^-x )

$= -\lim_{x \rightarrow + \infty}x e^{- x} + 0 + \int_0^{+\infty} e^{- x} \, dx = 0 + \left [ (-e^{- x}) \right]_0^{+\infty} = -\lim_{x \rightarrow + \infty}e^{- x} + e^0 = 1$

• $L = \int_0^1 \frac {\ln x} {\sqrt{x}} dx$
  es una integral impropia en 0: ni existe la función en cero ni es prolongable por continuidad (tiende hacia el infinito). Con una I.P.P. se obtiene:

$L = \int_0^1 \frac {\ln x} {\sqrt{x}} dx \ = \ [ 2 \sqrt{x} \ln x ]_0^1 \ - \ \int_0^1 \frac 1 x \cdot 2 \sqrt{x} \ dx \ = \ 2 \sqrt{1} \ln 1 \ - \ 2 \lim_{x \rightarrow 0} \left ( \sqrt{x} \ln x \right ) \ - \ 2 \int_0^1 \frac 1 {\sqrt{x}} \ dx = 0 \ - \ 2 [ 2 \sqrt{x} ]_0^1 \ = \ - 4$.

Nótese que la segunda integral de la I.P.P. también es impropia (la función también tiende hacia el infinito) sin embargo converge, así como el corchete, por tanto L también.

I.P.P. múltiple

Ciertas integrales requieren varias I.P.P. sucesivas para ser calculadas. Tal es el caso de la integral

$M = \int_0^{\pi} x^3 cos x \ dx$

pues al derivar tres veces el factor x³ se obtiene una integral del coseno que se sabe calcuar.

Existe una fórmula que permiten hacer n I.P.P. sucesivas en una sola etapa:

$\int_a^b u(t)v^{(n)}(t) \, dt = \left [ \sum_{k = 0}^{n-1} (-1)^k u^{(k)} (t) v^{(n+ 1 - k)} (t) \right]_a^b + (-1)^n \ \int_a^b u^{(n)}(t)v(t) \, dt$.

Su prueba es sencilla: se puede llevar a cabo del mismo modo que la prueba de la I.P.P. sencilla, o por inducción, o reiterando n I.P.P. en el caso general (a este último método le faltaría rigor pero es el más intuitivo), y supone que u y v son de clase Cⁿ (n veces derivables y de derivadas de orden n continuas). En la fórmula, u^(k) es la derivada de orden k de u, y cuando k = 0 es la función u misma.

Ejemplo:

• $M = \int_0^{\pi} x^3 cos x \ dx = \left [ x^3 sen \, x - 3x^2 ( - cos \, x) + 6 x (- sen \, x) \right ]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 6 (- sen \, x) \ dx$$= \left [ x^3 sen \, x + 3x^2 cos \, x - 6 x \, sen x - 6 cos \, x \right ]_0^{\pi} = 12 - 3 \pi^2$.

Para una I.P.P. doble resulta en general más sencillo escribir las dos I.P.P. sencillas sucesivamente que reflexionar para recordar la fórmula de la integración múltiple.

Sin sorpresa, la I.P.P. múltiple se puede llevar a cabo con integrales impropias, por las mismas razones y bajo las mismas condiciones expuestas en el párrafdo anterior. Ejemplo:

• $P_n = \int_0^{{}_{ + \infty}} x^n e^{-x} dx : ^\ \ \ \ u(x) = x^n, \ u^{(k)}(x) = \frac {n!} {(n-k)!} x^{(n-k)}, \ \ \ v(x) = (-1)^n e^{-x} , \ \ \ v^{(k)} (x) = (-1)^{(n-k)}e^{-x}$

$P_n = \int_0^{{}_{ + \infty}} x^n e^{-x} dx = \left [ \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac {n!} {(n-k)!} x^{(n-k)} (-1) ^{k+1} e^{-x} \right ]_0^{+ \infty} + \ (-1)^n \int_0^{{}_{ + \infty}} n! (-1)^n e^{-x} dx$

Se obtiene, simplificando los signos (los factores potencias de -1 ) :

$P_n = \left [ - \sum_{k=0}^{n-1} \frac {n!} {(n-k)!} x^{(n-k)} e^{-x} \right ]_0^{+ \infty} + \ n! \int_0^{{}_{ + \infty}} e^{-x} dx = 0 \, - \, 0 + \ n! \left [- e^{-x} \right ]_0^{+ \infty} = n!$

Para este cálculo, muy parecido al de la función gamma, resulta más sencillo calcular los P_n por inducción, expresando P_n en función de P_n-1, lo que requiere solamente una I.P.P. simple y sencilla.

I.P.P. e integrales autoreferentes

En algunos casos la integración por partes da la impresión de llevar a ninguna parte salvo al punto de partida: al cabo de algunos cálculos aparece de nuevo la integral inicial.

Ejemplos:

• $R = \int_0^{\pi} sen \,2x \cdot e^x \, dx = \left [ sen \,2x \cdot e^x \right ]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 2 cos \,2x \cdot e^x \, dx = 0 - 0 - \left ( \left [ 2 cos \,2x \cdot e^x \right ]_0^{\pi} - \int_0^{\pi}(- 4 sen \,2x) \cdot e^x \, dx \right )$$= - 2 cos \, 2 \pi \cdot e^{\pi} + 2 cos \, 0 \cdot e^0 - 4 \int_0^{\pi} sen \,2x \cdot e^x \, dx =$$-2e^{\pi} + 2 - 4 \int_0^{\pi} sen \,2x \cdot e^x \, dx$

Seguir integrando por partes no llevaría a un valor numérico de R. Lo adecuado es ver la expresión de la integral en función de si misma como una ecuación: $R = -2e^{\pi} + 2 - 4R$ lo que implica obviamente que

$R = \frac {2(1 - e^{\pi})} 5$

Esta integral se puede calcular más elegantemente recordando que el seno es la parte imaginaria de la exponencial e^ix: sen x = Im (e^ix), luego R es la parte imaginaria de la integral compleja siguiente: $R_c = \int_0^{\pi} e^2ix \cdot e^x \, dx = \int_0^{\pi} e^{(1 + 2i)x} dx = \left [ \frac {e^{(1 + 2i)x}} {1 + 2i} \right ]_0^{\pi} =$$\left [ \frac {e^{(1 + 2i)x} (1 - 2i)} {5} \right ]_0^{\pi} =$$(e^{\pi + 2i \pi} - 1) \frac {1-2i} 5 = \frac {1-2i} 5 (e^{\pi} - 1)$ cuya parte imaginaria es $R = Im(R_c) = \frac {-2} 5 (e^{\pi} - 1) = \frac 2 5 (1 - e^{\pi})$. El empleo de los números complejos logra la hazaña de prescindir de dos integraciones por partes.

• $S = \int_1^e cos ( ln \, x) \, dx$
  . Se utiliza
  $v(x) = x, \ \ v'(x) = 1, \ \ \ u(x) = cos (ln x), \ \ u'(x) = - \frac {sin (ln x)} x$

$S = \left [ x \, cos (ln \, x) \right ]_1^e - \int_1^e x \left ( - sen ( ln \, x) \cdot \frac 1 x \right ) \, dx =$$e \, cos \, 1 - 1 + \int_1^e sen ( ln \, x) \, dx =$$e \, cos \, 1 - 1 + \left [ x \, sen (ln \, x) \right ]_1^e - \int_1^e x \left ( cos ( ln \, x) \cdot \frac 1 x \right ) \, dx =$$e \, cos \, 1 - 1 + e \, sen \, 1 - S$ luego $S = \frac {e \, cos \, 1 + e \, sen \, 1 - 1} 2$

Método para escoger u y v

Una de la dificultad para aplicar la integración por partes es escoger adecuadamente la función que se va a derivar (la u de la fórmula) y la que se va a integrar (la v).

Existe un clasificación de las funciones, elaborada empíricamente, desde las que se deben casi seguramente derivar hasta las que es aconsejable integrar. Por regla general es más difícil integrar que derivar; luego el criterio principal para ordenar las funciones es la dificultad para integrarlas (o el hecho que la primitiva sea más complicada que la función misma).

Encabeza la lista el logaritmo, cuya derivada es muy sencilla y cuyas primitivas son más complejas que ella. La acompañan las funciones emparentadas, como las recíprocas de las funciones hiperbólicas.

Siguen de cerca las recíprocas de las funciones trigonométricas (están vinculadas con sus homólogas hiperbólicas mediante la función lineal compleja z → iz).

Luego vienen las funciones que se integran tan facilmente que se derivan: las polinomiales, seguidas por las trigonométricas y al final llegan la exponencial acompañadas por las funciones hiperbólicas, emparentadas con la exponencial.

Referencias

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integral y función primitiva

Bibliografía

• Autor: M.Romero Schmidtke
  

Notas