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La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

El esquema del raciocinio es el siguiente: Llamemos P_n la proposición al rango n.

• Se demuestra que P₀ es cierta (iniciación de la inducción).
• Se demuestra que si P_n lo es, entonces P_n+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción).

En conclusión, se ha demostrado, por inducción, que P_n es cierto para todo natural n.

La inducción puede empezar por otro término que P₀, digamos por P_no. Entonces P_n será válido a partir del rango n_o, es decir, para todo natural n ≥ n_o.

Ejemplo: Demostremos que para todo n ≥ 1, 6ⁿ es un número que se acaba por un 6. Sea P_n: 6ⁿ se acaba por un 6.

Obviamente P₁ es cierto porque 6¹ = 6. También lo es P₂ pues 36 acaba por un 6.

Supongamos que P_n es cierto para un valor de n, y probemos P_n+1. Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a + 6, con a entero. La hipótesis es pues 6ⁿ = 10a + 6.

Entonces 6ⁿ⁺¹ = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6, con c=6a + 3, entero.

Esta última escritura prueba que 6ⁿ⁺¹ acaba por 6, o sea que P_n+1 es cierto.

Luego P_n es cierto para todo n ≥ 1.

La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, la inducción imita la construcción del conjunto : 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es también. Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional.

Además de la demostración por inducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: u_n = a + rn, o por inducción:

• u₀ = a
• u_n+1 = u_n + r.

Autor : M.Romero Schmidtke