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El grupo diédrico de orden n, denotado D_n, es el conjunto de las trasformaciones lineales que dejan globalmente invariable a un polígono regular de n lados.
Da lo mismo decir que deja globalmente invariable a sus n vértices. Por tanto, una trasformación perteneciente a D_n se caracteriza por su acción sobre estos n vértices, es decir como los permuta; luego es parte del grupo simétrico S_n.

D_n constituye un grupo, con el producto definido por la ley de composición de las aplicaciones º porque si σ y τ dejan invariable al polígono entonces también lo harán la recíproca σ ^-1 por una parte y la trasformación compuesta τºσ (que se notará en adelante τσ, prescindiendo del "º") por otra parte.

El centro O del polígono, como isobaricentro de sus vértices, es invariable por todo elemento de D_n. Entonces D_n sólo contiene a rotaciones cuyo centro es O y a simetrías cuyos ejes pasan por O.
Estas rotaciones envían un vértice sobre otro, que hace un ángulo de grados radianes, con k entero relativo, luego son múltiples de la rotación fundamental r, de ángulo . Las rotaciones son por tanto id = r⁰, r, r² ... y r^n-1 = r^-1 porque rⁿ = id.
Si se nota s la simetría cuyo eje pasa por el centro O y la arista "1", es fácil ver que deja el polígono invariable (por razones de ... ¡simetría!); entonces las trasformaciones sr, sr², ... sr^n-1 son otras tantas simetrías (la composición de una simetría por una rotación es una simetría); además no hay otras en D_n: si σ es otra simetría, entonces σs es una rotación de centro O (como composisión de dos simetrías cuyos ejes se cortan en O), y es id, r, r² ... o r^n-1. Componiendo por s a la derecha se obtiene el resultado anunciado.

En resumen: D_n = {id, r, r² ... r^n-1, s, sr, sr² ... sr^n-1 } y su cardinal es #D_n = |D_n| = 2n.

Se han dibujado los grupos diédricos del triángulo (n = 3) y del cuadrado (n = 4). En rojo figuran los ejes de simetría (en ambos casos se ha tomado para s la simétria que permuta los vértices 1 y 2 (en el caso del cuadrado tamién permuta 3 y 4), y en azul las rotaciones r (azul oscuro: la que realiza la permutación 1 → 2 → 3 → ....) y r^-1 (en azul claro).

Cuando n es impar, todas la simetrías dejan exactamente un vértice fijo, mientras que con n par, una simetría puede dejar fijo cero (como s en D₄) o dos vértices (como sr).

Para conocer perfectamente D_n hace falta describir su estructura como grupo. Esto se puede llevar a cabo de distintas maneras.

El primer método consiste en trazar su grafo, definido a partir de generadores del grupo y de relaciones entre ellos.

El grupo es generado por r y s, que verifican las relaciones rⁿ = id, s² = id y rsrs = id (pues rs es una simetría luego (rs)² = id). Se representa la composición a la izquierda por r con una arista orientada azul, y la de s con una arista no orientada (porque s = s^-1) roja. Cada vértice del grafo debe tener una arista azul entrante y otra saliente, además de una roja (que es a la vez entrante y saliente); Se empieza el grafo a partir del vértice id y se añaden aristas y vértices hasta que no sea más posible. La relación rⁿ = id da polígonos azules de n vértices, y rsrs = id da cuadrilateros (trapezios en este esquema) bicolores. Se obtiene el diagrama dibujado en el caso n = 7.

El segundo método consiste en tratar de escribir D_n mediante grupos conocidos, los grupos cíclicos Z_n (que también son anillos).

D_n = {id, r, r² ... r^n-1, s, sr, sr² ... sr^n-1 } es, como conjunto, el producto de {id, s} por {id, r, r² ... r^n-1}, que son isomorfos a Z₂ y Z_n respectivamente.
Sin embargo s y r no conmutan por tanto D_n no puede ser el producto directo de Z₂ y Z_n.
Como rsrs = id luego rs = sr^-1 (porque s = s^-1). Por inducción sobre b se demuestra que s^b = s^-b, luego, sabiendo que s^c = id cuando c es par y s^c = s cuando c es impar, se obtiene r^bs^c = s^cr^(-1)cb para b y c enteros relativos cualquiera. Entonces:

El isomorfismo entre {id, s} × {id, r, r² ... r^n-1} y Z₂ × Z_n se realiza borrando las s y las r y dejando solamente los exponentes:

El factor (-1)^c es el responsable de que el producto no sea directo, lo que ya se podía observar en el grafo anterior pues los dos polígonos azules no tenían la misma orientación.

Autor: M.Romero Schmidtke