Geometrías no euclídeas

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

El primero en concebir la posibilidad de una Geometría diferente de la Geometría clásica desarrollada por los griegos (expuesta magistralmente en Los Elementos de Euclides) fue Kant. En su primera obra publicada, Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben (1746) considera espacios de más de tres dimensiones y afirma

"Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevada que un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría.... Si es posible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a la existencia, porque Sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces."

Esas posibles geometrías que Kant entrevee son las que hoy llamaríamos geometrías euclídeas de dimensión mayor que 3. Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de lo que ocurre en regiones infinitamente lejanas del Cosmos de las que no tenemos experiencia alguna. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss, Lobachevsky y Bolyai intentaron demostrarlo por reducción al absurdo: suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Al ver con asombro que, en vez de llegar a contradicción, poco a poco surgía una teoría coherente y hermosa, se convencieron (sin llegar a demostrarlo) de que era factible desarrollar una geometría satisfactoria aceptando los cuatro primeros postulados de Euclides y la falsedad del quinto: la geometría hiperbólica. Esta convicción quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dió la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica, ambos resultados prueban que la geometría hiperbólica es tan consistente como la geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).

Sin embargo, Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo en que vivimos no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento.

A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre las hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio es la llamada Geometría de Riemann. Introduce el tensor de curvatura y demuestra que su anulación caracteriza a la geometría euclídea (al menos localmente). Basándose en la ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente el campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas rectas (geodésicas) de tal geometría. Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad de masa observada, dando cumplimiento así a la fantástica visión de Gauss: que la Geometría desentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio, y que su estructura geométrica global tiene curvatura.