Geometría de Riemann

En matemáticas, la geometría de Riemann tiene por lo menos dos significados, uno que se describe en este artículo y otro también llamado geometría elíptica.

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En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con metricas de Riemann; es decir una elección de una forma cuadrática positiva definida en la variedad espacio tangente que varía suavemente de punto a punto. Esto da ideas locales particulares de ángulo, longitud de curvas, y volumen. De esas algunas otras cantidades globales pueden ser derivadas, por integración de contribuciones locales.

Primero fue propuesta en generalidad por Bernhard Riemann en el siglo diecinueve. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos estándares (geometría esférica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Éstos todos se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrias cone propiedades métricas varían de punto a punto.

Cualquier variedad diferenciable admite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda a menudo a solucionar problemas de topología diferencial. También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-Riemann, las cuales (en la dimensión cuatro) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general.

No hay introducción fácil a la geometría de Riemann. Los artículos siguientes pueden servir como introducción:

1. tensor métrico
2. variedad de Riemann
3. conexión de Levi-Civita
4. curvatura
5. Tensor de curvatura.

Los artículos siguientes pueden ser también útiles:

1. lista de los asuntos diferenciados de la geometría
2. glosario de Riemann y de la geometría métrica

Teoremas clásicos en geometría riemanniana

Lo que sigue es una lista no completa de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace dependiendo de su belleza, de la importancia y simplicidad de la formulación.

Teoremas generales

1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en un variedad de 2 dimensiones compacta de Riemann es igual a $2\pi\chi(M)$, aquí $\chi(M)$ denota la característica de Euler de M.

1. Teorema de inmersión de Nash también llamado Teorema Fundamental de la geometría de Riemann. Indican que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente sumergido en un espacio euclidiano Rⁿ.