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Función raíz

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

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Sea n un número natural no nulo. La función

$x \to x^n$

define una biyección, de

$\mathbb{R}$

hacia

$\mathbb{R}$

si n es impar, y de

$\mathbb{R}+$

= [0; +∞[ si n es par.

Se llama función raíz enésima o función raíz de orden n a su función recíproca, que se nota de dos maneras:

$y = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Como consecuencia de esta "reciprocidad", Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

$a = b^n \Leftrightarrow b = \sqrt[n]{a}$

En el gráfico siguiente, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Cambiando de escala se ve la parte negativa de las raíces de orden impar:

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice:

$\sqrt{x}$

en vez de

$\sqrt[2]{x}$

. La raíz de orden tres se llama raíz cúbica (

$\sqrt[3]{x}$

). La raíz cuarta se calcula así:

$\sqrt[4]{x}= \sqrt{\sqrt{x}}$

Existe un método manual de calcular la raíz cuadrada parecida a una división.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

$\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln x}{n}\right) = e^{\frac{\ln x}{n}}$

Esta relación es también valida para valores no enteros de n, aunque no se suele hablar de "raíz de orden 2,5" por ejemplo.

Todos los ordenadores y calculadoras emplean esta fórmula. El problema es que este cálculo no funciona con los x negativos, porque el logaritmo usual solo está definido en ]0; +∞[.
Existe una tendencia, todavía minoritaria, de seguir la definición de las calculadores y por tanto de restringir el dominio de definición de las raíces a ]0; +∞[.

Autor: M.Romero Schmidtke

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