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Función parte entera

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Representación gráfica de la función parte entera.

La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así:

E(x) = [x]

donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1

Ejemplos: [1,4] = 1, [π] = 3 pues 3 ≤ π < 4, y [-π] = -4 pues -4 ≤ -π < -3. Esta función no es por lo tanto par.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas.
Esta función no es continua en los números enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los intervalos abiertos ]n; n+1[ o (n; n + 1) donde es constante y vale n.

Mantisa, función parte decimal o fraccionaria.

El complemento natural de la parte entera es la parte fraccionaria, o parte decimal, también llamada mantisa, este último término se emplea sobre todo con relación al logaritmo decimal; vale por definición frac(x) = x - [x], y su gráfico es una sucesión de segmentos inclinados de pendiente 1.

Es una función periódica, de período 1. La descomposición en parte entera y decimal es obvia en los números positivos: 1,732 = 1 + 0, 732 , mas no tanto en los negativos: - 2,23606 = - 3 + 0,76394.

En cuanto a las fracciones, la descomposición se hace mediante una división euclidiana: \frac a b = q + \frac r b donde q y r son el cociente y el resto de a por b (con b > 0). Por ejemplo: \frac {269} {99} = 2 + \frac {71} {99}

Como la división euclidiana se extiende a los polinomios, también lo hacen la parte entera y la fraccionaria. Por ejemplo: \frac {X^2-X+1} {X+1} = X-2 + \frac {3} {X+1} lo que es muy útil en el cálculo de las integrales y primitivas entre otras cosas. Aquí la parte entera es un polinomio, fácil de integrar, y la otra parte una función racional de grado negativo, que también se sabe integrar, eso sí, con cálculos bastante más largos en general. En este ejemplo, una primitiva es  \frac {X^2} 2 -2 X + 3 \ln (X+1)

La parte entera permite calcular el truncamiento de un real a cualquier orden mediante la fórmula: \frac {[10^n \cdot x]} {10^n} . El entero n es el número de decimales que se conservan, es decir que la precisión es de 10 - n:

Trunquemos por ejemplo la constante π con dos decimales: \frac {[100 \cdot \pi ]} {100} = \frac {314} {100} = 3,14 .

Los valores negativos de n también son válidas, y dan truncamientos más imprecisos: con n = -3 y x = 47604,67: \frac {[10^{-3} \times 47604,67]} {10^{-3}} = \frac {[ \frac {47604,67} {1000}] } {\frac 1 {1000}} = [47,60467] \times 1000 = 47 \times 1000 = 47000

El redondeo usual, al entero más próximo, se define por [x + 0,5]. Así 6,4 se redondea a 6, mientras que 6,5 y 6,6 lo hacen a 7.

El redondeo con n decimales sigue la misma convención de cambiar a la cifra 5 (incluida).

Su fórmula es parecida a la del truncamiento, con el oportuno desfase de 0,5: \frac {[10^n \cdot x + 0,5]} {10^n} .

Por ejemplo, para redondear e = 2, 7182818... a dos decimales:

\frac {[100 \cdot e]} {100} = \frac {[271,8... + 0,5] } {100} = \frac {[272,3...]} {100} = \frac {273} {100} = 2,73

Ver la parte entera de x como el mayor entero menor o igual a x sugiere el concepto simétrico de el menor entero mayor o igual a x. Esto define la función techo, y para mayor coherencia, se renombra función piso a la parte entera.

Las notaciones que tienden a generalizarse son \lfloor x \rfloor y \lceil x \rceil para las funciones piso y techo respectivamente.

Cuando x es entero coinciden: \lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = [x] = x y cuando no, difieren de 1:\lfloor x \rfloor < x < \lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1

Ejemplo: - 9 = \lfloor -8,2 \rfloor  < - 8,2 < \lceil - 8,2 \rceil = - 8

            y :          8 = \lfloor 8,2 \rfloor  <  8,2 < \lceil  8,2 \rceil = 9

Comparando las dos últimas líneas, se adivina la sigiente relación:  \lceil x \rceil  = -  \lfloor -x  \rfloor , fácil de probar.

Para terminar, una curiosidad:

Puesto que la parte fraccionaria es discontinua en el conjunto de los enteros Z, la función x→frac(k·x) lo es en los n/k, con n recorriendo Z.Usando (y abusando) de esta propiedad, se puede fabricar una función totalmente discontinua:

 g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {frac(2^k \cdot x)} {2^k}

Suma de partes fraccionarias.png

Cada raya vertical corresponde a una discontinuidad (sólo se ven las mayores), y en todo rigor no debería ser trazada. Esta curva tiene además la propiedad de ser un fractal.


Autor: M.Romero Schmidtke