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Función parte entera

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Representación gráfica de la función parte entera.

La función parte entera, notada E o con corchetes, se define sobre el conjunto de los números reales así:

E(x) = [x]

donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1

Ejemplos: [1,4] = 1, [π] = 3 pues 3 ≤ π < 4, y [-π] = -4 pues -4 ≤ -π < -3. Esta función no es por lo tanto par.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas.
Esta función no es continua en los números enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los intervalos abiertos ]n; n+1[ o (n; n + 1) donde es constante y vale n.

Mantisa, función parte decimal o fraccionaria.

El complemento natural de la parte entera es la parte fraccionaria, o parte decimal, también llamada mantisa, este último término se emplea sobre todo con relación al logaritmo decimal; vale por definición frac(x) = x - [x], y su gráfico es una sucesión de segmentos inclinados de pendiente 1.

Es una función periódica, de período 1. La descomposición en parte entera y decimal es obvia en los números positivos: 1,732 = 1 + 0, 732 , mas no tanto en los negativos: - 2,23606 = - 3 + 0,76394.

En cuanto a las fracciones, la descomposición se hace mediante una división euclidiana: donde q y r son el cociente y el resto de a por b (con b > 0). Por ejemplo:

Como la división euclidiana se extiende a los polinomios, también lo hacen la parte entera y la fraccionaria. Por ejemplo: lo que es muy útil en el cálculo de las integrales y primitivas entre otras cosas. Aquí la parte entera es un polinomio, fácil de integrar, y la otra parte una función racional de grado negativo, que también se sabe integrar, eso sí, con cálculos bastante más largos en general. En este ejemplo, una primitiva es

La parte entera permite calcular el truncamiento de un real a cualquier orden mediante la fórmula: . El entero n es el número de decimales que se conservan, es decir que la precisión es de 10 - n:

Trunquemos por ejemplo la constante π con dos decimales: .

Los valores negativos de n también son válidas, y dan truncamientos más imprecisos: con n = -3 y x = 47604,67:

El redondeo usual, al entero más próximo, se define por [x + 0,5]. Así 6,4 se redondea a 6, mientras que 6,5 y 6,6 lo hacen a 7.

El redondeo con n decimales sigue la misma convención de cambiar a la cifra 5 (incluida).

Su fórmula es parecida a la del truncamiento, con el oportuno desfase de 0,5: .

Por ejemplo, para redondear e = 2, 7182818... a dos decimales:

Ver la parte entera de x como el mayor entero menor o igual a x sugiere el concepto simétrico de el menor entero mayor o igual a x. Esto define la función techo, y para mayor coherencia, se renombra función piso a la parte entera.

Las notaciones que tienden a generalizarse son y para las funciones piso y techo respectivamente.

Cuando x es entero coinciden: y cuando no, difieren de 1:

Ejemplo:

            y :        

Comparando las dos últimas líneas, se adivina la sigiente relación: , fácil de probar.

Para terminar, una curiosidad:

Puesto que la parte fraccionaria es discontinua en el conjunto de los enteros Z, la función x→frac(k·x) lo es en los n/k, con n recorriendo Z.Usando (y abusando) de esta propiedad, se puede fabricar una función totalmente discontinua:

Suma de partes fraccionarias.png

Cada raya vertical corresponde a una discontinuidad (sólo se ven las mayores), y en todo rigor no debería ser trazada. Esta curva tiene además la propiedad de ser un fractal.


Autor: M.Romero Schmidtke