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Función matemática

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Definición

Una relación matemática f: A \rarr B se denominará función si y sólo si cumple con las siguientes condiciones:

  1. Existencia: \forall x \in A \quad \rm {\exists y} \in B / (x,y) \in f
  2. Unicidad: Si (x,y) \in f \and (x,z) \in f \Rightarrow y = z

A Gottfried Leibniz (1646-1716) se le adjudica haber utilizado por primera vez la palabra función (del latín functo que significa acto de realizar). La definición formal se le atribuye a Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

Dominio e imagen

  • El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Dicho de otra forma, si el conjunto de existencia es vacío entonces no existe la función.
  • El conjunto imagen está formado por los valores que alcanza la función.
Im_f = \left\{y/y \in B \and \exists x \in A / (x,y) \in f\right\}
Es decir que la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x2 si bien tendrá como dominio a todos los reales, su imagen sólo tendrá valores comprendidos entre 0 y +.
  • Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo si se quiere restringir f(x)=x2 para que sea biyectiva es posible tomar una sóla de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0;+)
  • Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.
C_0 = \left\{x \in D_f/ f(x) = 0\right\}
  • Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.
C^- = \left\{x \in D_f/ f(x) < 0\right\}
  • Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.
C^+ = \left\{x \in D_f/ f(x) > 0\right\}

Tipos de funciones

Véase también: clasificación de las funciones matemáticas.

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Función inversa

  • Función inyectiva: Si cada elemento de la imagen es imagen de un único elemento del dominio. f: A --> B es inyectiva \harr \forall x \in A \and \forall y \in B : f(x) = f(y) \rarr x = y
  • Función sobreyectiva: f: A --> B es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (denominado también conjunto de llegada, codominio o rango).
  • Función biyectiva: f: A --> B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.
  • Función inversa: Sólo si una función f: A --> B es biyectiva es posible hallar su inversa f^{-1} / f^{-1} B \rarr A

OntoMap.png

Sobreyectiva, no inyectiva

Mathmap.png

Inyectiva, no sobreyectiva

Archivo:BijMap.png

Biyectiva

Mathmap2.png

No sobreyectiva, no inyectiva

Composición de funciones

  • Dadas dos funciones f y g para las cuales la imagen de g está incluída en el dominio de f entonces se puede hallar la función compuesta h /  h(x)=(fog)_{(x)} = f[g(x)]

Funciones reales y discretas

Funciones acotadas

  • Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) cuyo conjunto imagen es [-1;1]

Paridad de funciones

  • Una función f A --> B puede ser par, impar o ni una ni la otra.
  1. Función par: \forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))
  2. Función impar: \forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = -f(-x))

Funciones monótonas

  1. f es estrictamente creciente en [a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)
  2. f es estrictamente decreciente en [a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

  1. f es creciente en [a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)
  2. f es decreciente en [a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: f(x) = f(x + T) donde T es el periodo. Ver artículo sobre funciones periódicas.

Lista de funciones

Aquí clasificamos las funciones según su complejidad, de las más sencillas a la más complejas.

  • Funciones polinómicas
Son las funciones x → P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una suma finita de potencias de x multiplicados por coeficientes reales.
Por ejemplo: ax + b es un binomio del primer grado, ax2 + bx + c es un trinomio del segundo grado.
  • Funciones racionales
Son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula.
Por ejemplo:
x→ (ax + b)/ (cx + d).
  • funciones trigonométricas [1]

Referencias

Artículos relacionados

Fuentes empleadas y notas