Función matemática

Definición

Una relación matemática $f: A \rarr B$ se denominará función si y sólo si cumple con las siguientes condiciones:

1. Existencia: $\forall x \in A \quad \rm {\exists y} \in B / (x,y) \in f$
2. Unicidad: Si $(x,y) \in f \and (x,z) \in f \Rightarrow y = z$

A Gottfried Leibniz (1646-1716) se le adjudica haber utilizado por primera vez la palabra función (del latín functo que significa acto de realizar). La definición formal se le atribuye a Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

Dominio e imagen

• El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Dicho de otra forma, si el conjunto de existencia es vacío entonces no existe la función.

• El conjunto imagen está formado por los valores que alcanza la función.

$Im_f = \left\{y/y \in B \and \exists x \in A / (x,y) \in f\right\}$

Es decir que la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x² si bien tendrá como dominio a todos los reales, su imagen sólo tendrá valores comprendidos entre 0 y +∞.

• Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo si se quiere restringir f(x)=x² para que sea biyectiva es posible tomar una sóla de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0;+∞)

• Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

$C_0 = \left\{x \in D_f/ f(x) = 0\right\}$

• Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.

$C^- = \left\{x \in D_f/ f(x) < 0\right\}$

• Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

$C^+ = \left\{x \in D_f/ f(x) > 0\right\}$

Tipos de funciones

Véase también: clasificación de las funciones matemáticas.

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Función inversa

• Función inyectiva: Si cada elemento de la imagen es imagen de un único elemento del dominio. f: A --> B es inyectiva $\harr \forall x \in A \and \forall y \in B : f(x) = f(y) \rarr x = y$

• Función sobreyectiva: f: A --> B es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (denominado también conjunto de llegada, codominio o rango).

• Función biyectiva: f: A --> B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.

• Función inversa: Sólo si una función f: A --> B es biyectiva es posible hallar su inversa $f^{-1} / f^{-1} B \rarr A$

Sobreyectiva, no inyectiva	Inyectiva, no sobreyectiva
Archivo:BijMap.png Biyectiva	No sobreyectiva, no inyectiva

Composición de funciones

• Dadas dos funciones f y g para las cuales la imagen de g está incluída en el dominio de f entonces se puede hallar la función compuesta $h / h(x)=(fog)_{(x)} = f[g(x)]$

• Dada f: A --> B biyectiva, existe $f^{-1} : B \rarr A / (f o f^{-1}) = (f^{-1} o f) = x$ Véase función recíproca.

Funciones reales y discretas

• Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

• Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) cuyo conjunto imagen es [-1;1]

Paridad de funciones

• Una función f A --> B puede ser par, impar o ni una ni la otra.

1. Función par: $\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$
2. Función impar: $\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = -f(-x))$

Funciones monótonas

1. f es estrictamente creciente en $[a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$
2. f es estrictamente decreciente en $[a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

1. f es creciente en $[a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
2. f es decreciente en $[a;b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a;b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: f(x) = f(x + T) donde T es el periodo. Ver artículo sobre funciones periódicas.

Lista de funciones

Aquí clasificamos las funciones según su complejidad, de las más sencillas a la más complejas.

• Funciones polinómicas

Son las funciones x → P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una suma finita de potencias de x multiplicados por coeficientes reales.

Por ejemplo: ax + b es un binomio del primer grado, ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

• Funciones racionales

Son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula.

Por ejemplo:

x→ (ax + b)/ (cx + d).

• funciones logarítmicas

• funciones exponenciales

• funciones radicales

• funciones trigonométricas

Referencias

Artículos relacionados
Continuidad (matemáticas)

Notas