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Función impar

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Curva de una función impar

Una función f es impar si y sólo si satisface a la condición: \forall x \in D_f, \left ( -x \in D_f \right ) \and \left ( f(-x) = - f(x)  \right ), donde D_f \ es el dominio de la función f, que tiene que ser simétrico con respecto a 0: x y -x deben pertenecer simultaneamente a este conjunto.

La curva de una función impar tiene como propiedad característica de ser simétrica con relación al origen del sistema de coordenadas. En efecto un punto M \left ( x, f(x) \right ) cualquiera de la curva tiene como simétrico el punto  M'\left ( -x, -f(x) \right ) que también pertenece a la curva porque su ordenada -f(x) = f(-x)\ ; es la imagen por f de su abscisa.

Ejemplos de funciones impares reales son
 x \longmapsto x^n
con n un entero impar - de ahí la apelación de este tipo de funciones. Otras funciones impares importantes son el seno, la tangente así como el seno hiperbólico y la tangente hiperbólica.


Si una función f tiene un dominio simétrico para con 0, entonces es una suma de una función impar y de otra par porque
f(x) = \frac {f(x) - f(-x)} 2 \ + \  \frac {f(x) + f(-x)} 2
. Se llama parte impar de f la función
x \mapsto  \frac {f(x) - f(-x)} 2

Referencias

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Notas