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Función hiperbólica

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Definición analítica

gráfico de las funciones hiperbólicas ch, sh y th

Se llaman funciones hiperbólicas al coseno hiperbólico (denotado cosh o ch), seno hyperbólico (senh o sh) y las funciones que se obtienen a partir de ellas, como la tangente (tanh o th), cotangente (coth), la secante (sech) y la cosecante (cosech) hiperbólicas:

Coseno hiperbólico:
\operatorname{ch} (x) = \frac {e^x + e^{-x}} 2 \ \
es la parte par de la exponencial
Seno hiperbólico:
\operatorname{sh} (x) = \frac {e^x - e^{-x}} 2 \ \
es la parte impar de la exponencial
Tangente hiperbólica:
\operatorname{th} (x) = \frac {sh \, x} {ch \, x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac {e^{2x} - 1 } {e^{2x}+1}

Cotangente hiperbólica:
\operatorname{coth} (x) = \frac {ch \,x} {sh \,x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac {e^{2x} + 1 } {e^{2x} - 1}
, definida sobre
\mathbb{R}^{*}
y más generalmente sobre
\mathbb{C}^{*}

Secante hiperbólica:
\operatorname{sech} (x) = \frac {1} {ch \,x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac {2 e^x} {e^{2x} + 1}

Cosecante hiperbólica:
\operatorname{csch} (x) = \frac {1} {sh \,x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac {2 e^x} {e^{2x} - 1}
, definida sobre
\mathbb{R}^{*}
y más generalmente sobre
\mathbb{C}^{*}
.

Sh, th, coth y csch son funciones impares mientras que ch y sech son pares.

interpretación geométrica de las funciones hiperbólicas

Definición geométrica


De la misma manera que las funciones trigonométricas permiten localizarse sobre el círculo trigonométrico, las funciones hiperbólicas dan la posición de un punto cualquiera de la rama positiva de la hipérbola de ecuación
x^2 - y^2 = 1 \
(en un sistema de coordenadas ortonormal).

Un punto A(ch a, sh a) pertenece al esta hipérbola porque sus coordenadas verifican su ecuación, concretamente ch^2 a = sh^2 a + 1 \ .

Esto equivale a decir que el sistema  \begin{cases} x = ch \ a \\ y = sh \ a  \end{cases}    es una representación paramétrica (o ecuación paramétrica) de esta rama de hipérbola.

Sin embargo lo más sorprendente es que el parámetro a tiene una interpretación geométrica sencilla: es el doble del área delimitada por eje de abscisas, la recta (OA) y la hipérbola (superficie dibujada en azul). La semejanza con la trigonometría circular es llamativa y deja entrever que existe un vínculo muy profundo entre ambas geometrías, la circular (euclídea) y la hiperbólica.

Prueba: El triángulo OAB tiene como área
 \mathcal{B} = \frac {sh \, a \ ch \,a } 2 = \frac {sh \, 2a} 4
y el área azul
 \mathcal{A}
más él del triángulo OAB mide, integrando para con las ordenadas:
 \mathcal {A + B} = \int_0^{sh \, a} \sqrt{y^2 + 1} \, dy
.
El cambio de variable  y = sh \, \theta , \ dy = ch \, \theta \, d \theta en la integral anterior da:  \mathcal {A + B} = \int_0^a \sqrt{1 + sh^2 \theta}  \ ch \, \theta \, d \theta =  \int_0^a ch^2 \theta \, d \theta =  \int_0^a \frac{ ch \, 2 \theta  + 1} 2 d \theta  = \left [  \frac {sh \, 2 \theta } 4 + \frac {\theta} 2   \right  ]_0^a   = \frac {sh \, 2 a } 4 + \frac a 2 = \mathcal{B} + \frac a 2. Luego
 \mathcal{A} = \frac a 2

Relación con la trigonometría


El vínculo entre las funciones hiperbólicas y trigonométricas es la fórmula de Euler
e^{ix} = \cos x + i\;\operatorname{sen} \, x
que tiene como consecuencia estas escrituras del coseno y del seno:
 \cos x = \frac {e^{ix} + e^{-ix} } 2 = Re(e^{ix})
es la parte real de eix, y
 \operatorname{sen} \, x = \frac {e^{ix} - e^{-ix} } {2i} = Im(e^{ix})
es su parte imaginaria.

Se obtienen fácilmente las relaciones:  \cos x = \operatorname{ch} \,ix \ , \ \operatorname{ch} \,x = \cos ix  ,   \operatorname{sh} \, x = -i \, \operatorname{sen} \, ix  ,  \operatorname{sen} \, x = -i \, \operatorname{sh} \,ix  ,   \operatorname{sen} \, ix = i \, \operatorname{sh} \,x.

Gracias a estas últimas, se traducen automáticamente todas las relaciones trigonométricas en la lengua de la geometría hiperbólica. Veámos como, con un ejemplo sencillo:

Bien es sabido que
\cos^2 \, x + \operatorname{sen}^2 \, x = 1
. Es esto cierto para todo x real, luego para todo x complejo (por propiedad de las funciones holomorfas), por tanto para todo complejo de la forma ix:
\cos^2 \, ix + \operatorname{sen}^2 \, ix = 1
. Remplazando
 cos \, ix , \ sen \, ix
por
 \operatorname{ch} \, x , \ i \, \operatorname{sh} \, x
se obtiene:
 ch^2 \, x + ( i \, sh \, x)^2 = 1
es decir
 ch^2 \, x - sh^2 \, x = 1
.
En la práctica, una fórmula trigonométrica de cosenos y senos se trasforma en la fórmula similar con
ch \, , \  sh
con sólo cambiar el signo de los eventuales factores
sen^2 \,
de un término y trasformarlos en
 - sh^2 \,
. Por ejemplo
cos^3 x  \, sin^7 \, x  = cos^3 x  \, sin \, x \, \left (sin^2 x \right ) ^3
daría
 ch^3 x  \, sh \, x \, \left ( {\color{Blue} -sh^2 \, x}\right )^3  =  ch^3 x  \,sh \, x \left ({\color{Blue} -sh^6 x} \right ) = {\color{Blue} -} ch^3 x  \, sh^7 x
. De aquí en adelante, se escriben en azul los signos que cambian entre la geometría circular y la hiperbólica.
Más generalmente, el factor
sen^n x \,
corresponde a
sh^n x \,
cuando n = 4k ó n = 4k + 1 , k siendo entero (n es congruente a 0 ó 1 modulo 4) y a
 {\color{Blue} -}  sh^n x
cuando n = 4k + 2 ó n = 4k + 3.

Fórmulas de adición:    
\begin{cases} ch \,(x + y) = ch \,x \, ch \, y \, {\color{Blue} +} \,  sh \, x \, sh y  \\ 
               sh \,(x + y) = sh \,x \, ch \, y + ch \, x \, sh y \end{cases}

Dividiendo la última fórmula por la penúltima, se obtiene:    th \,(x + y) = \frac {th \,x + th \, y} { 1 \, {\color{Blue} +} \, th \, x \, th y}

Fórmulas de duplicación: se toma y = x en las anteriores. \begin{cases} ch \, 2x = ch^2 x \, {\color{Blue} +} \, sh^2 x = 2 ch^2 x - 1 = 1 \, {\color{Blue} +} \, 2 sh^2 x \\  
sh \, 2x = 2 sh \,x \, ch \, x \\ 
th \, 2x = \frac {2 \,th \,x } { 1 \, {\color{Blue} +} \, th^2 x } \end{cases}

Se deducen las fórmulas del medio ángulo: \begin{cases} ch^2 \frac{x}{2} = \frac{ch \,x + 1}{2} \\ sh^2 \frac{x}{2} = \frac{{\color{Blue} - } 1 {\color{Blue} + } ch x }{2} \end{cases}

Gracias al que ch es par e sh impar, se deducen las fórmulas de sustracción:     
\begin{cases} ch \,(x - y) = ch \,x \, ch \, y \, {\color{Blue} -} \,  sh \, x \, sh y  \\ 
               sh \,(x - y) = sh \,x \, ch \, y - ch \, x \, sh y \end{cases}

Luego, cambinando las fórmulas de adición y de sustracción, se obtienen las de multiplicación, llamadas también de linearización:  
\begin{cases} ch \,x \, ch \, y = \frac {ch (x+y) \, + \, ch (x-y)} 2 \\
           sh \,x \, sh \, y = \frac {{\color{Blue} - }ch (x-y) \, {\color{Blue}+} \, ch (x+y)} 2 \\
           ch \,x \, sh \, y = \frac {sh (x+y) \, - \, sh (x-y)} 2 
\end{cases}    que sirven para integrar productos de funciones hiperbólicas.

Todo lo anterior permite encontrar las otras fórmulas, sin embargo existe un punto de vista más elegante y teórico que subraya la analogía entre ambas geometrías. Lo exponemos en el párrafo siguiente.

Punto de vista algebraico

Para entender plenamente la trigonometría hiperbólica es preciso realizar el mismo trabajo que se hizo al pasar de los reales a los complejos para entender la trigonometría circular.

Las fórmulas de adición de la geometría circular son consecuencia directa de :

 e^{ix} \, e^{iy} = e^{i(x+y)} \,
que se escribe
 cos \,(x+y) + i sen \, (x+y) = (cos \,x + i sen \, x ) (cos \, y + i sen \, y)
, y que se desarolla en:
 {\color{Blue} cos \,(x+y)} \, + \, {\color{Red} i sen \, (x+y)} = {\color{Blue} cos \,x \,cos \, y -  sen \, x \, sen \, y} \, + \, {\color{Red} i ( sen \, x \, cos \, y +  cos \, x \,sen \, y)}

Igualando las partes reales (en azul) se obtiene la fórmula del coseno, y con las partes imaginarias (en rojo) la del seno.

Pues bien, remplazando la unidad imaginaria
i \,
que verifica
i^2 = -1 \,
por el número
\epsilon \,
tal que
\epsilon^2  = 1 \,
sin que
\epsilon \,
sea 1, ni - 1 ni otro número complejo - se trabaja en el anillo cociente
\mathbb{C}[\epsilon] = \mathbb{C}[X]/(X^2 - 1) \,
[1] - se obtienen las fórmulas de adición de ch y sh:


      ch \,(x+y) + \epsilon sh \, (x+y) = (ch \,x + \epsilon sh \, x ) (ch \, y + \epsilon sh \, y)      

que se desarolla en:

  ch \,(x+y) \, + \,  \epsilon \, sh \, (x+y) = ch \,x \,ch \, y +  \epsilon ( sh \, x \, ch \, y +  ch \, x \,sh \, y) + \epsilon^2 \,  sh \, x \, sh \, y

luego en:

 {\color{Blue} ch \,(x+y)} \, + \, {\color{Red} \epsilon \, sh \, (x+y)} = {\color{Blue} ch \,x \,ch \, y +  sh \, x \, sh \, y} \, + \, {\color{Red} \epsilon ( sh \, x \, ch \, y +  ch \, x \,sh \, y)}


De la misma manera la fórmula de De Moivre \left(cos \, x+i \, sen \,x \right)^n = cos \, nx+ i \, sen \, nx \,   tiene como equivalente:

     \left(ch \,x + \epsilon \, sh \, x\right)^n = ch \, nx + \epsilon \, sh \, nx.\,     

(La prueba es similar a la de la fórmula de De Moivre, por inducción sobre n entero natural, luego para n entero negativo).

Como ejemplo se puede calcular
\left(ch \,x + \epsilon sh \, x\right)^3
para obtener
ch \ 3x
y
sh \ 3x
:

{\color{Blue}ch \ 3x} + {\color{Red}\epsilon sh \ 3x} =  \left(ch \,x + \epsilon sh \, x\right)^3 =
con el binomio de Newton:
ch^3 x + 3 \epsilon ch^2 x \, sh \, x + 3 \epsilon^2 ch \, x sh^2 x + \epsilon^3 sh^3 x =
con ε2 = 1 y ε3 = ε:
{\color{Blue}ch^3 x} + {\color{Red}3 \epsilon ch^2 x \, sh \, x} + {\color{Blue}3 ch \, x \, sh^2 x} + {\color{Red}\epsilon sh^3 x} =
con ch2 x = sh2 x + 1:
{\color{Blue}ch^3 x + 3 ch \, x \, (ch^2 x - 1) } + {\color{Red} 3 \epsilon (sh^2 x + 1) \, sh \, x +  \epsilon sh^3 x} =
desarrollando y reuniendo:
{\color{Blue}4 ch^3 x - 3 ch \, x } + {\color{Red} \epsilon ( 4 sh^3 x + 3 sh \, x)}

La derivada de ch es sh y recíprocamente, como se puede ver facilmente. Luego, considerando la expresión recién introducida, se observa que: \left(ch \,x + \epsilon sh \, x\right)' = ch' x + \epsilon sh' x = sh \, x + \epsilon ch \, x  = \epsilon^2 sh \, x + \epsilon ch \, x  = \epsilon \left(ch \,x + \epsilon sh \, x\right)

Esto significa que la función f(x) = ch \,x + \epsilon sh \, x es solución de la ecuación diferencial \begin{cases}f' = \epsilon f \mbox{ (ecuacion diferencial)}\\ f(0) = 1 \mbox{ (condicion inicial)} \end{cases} y sugiere que, por analogía, f sea denotada con una exponencial: f(x) = e^{\epsilon x} \,

Esta notación se justifica plenamente al mirar los desarrollos en series de ch x, sh x y e^{\epsilon x}:

Sabiendo que \epsilon^n = \begin{cases} 1 \ si \ n \ es \ par \\ \epsilon \ si \ n \ es \ impar \end{cases}, el desarrollo de e^{\epsilon x} es el siguiente:

e^{\epsilon x} = 1 + {\epsilon x} + \frac {(\epsilon x)^2} 2 + \frac {(\epsilon x)^3} 6 + \frac {(\epsilon x)^4} {24} + \frac {(\epsilon x)^5} {120} + ... =  \sum_{n=0}^{+\infty} \frac {(\epsilon x)^n} {n!}  =  \sum_{n \ par} \frac {(\epsilon x)^n} {n!} + \sum_{n \  impar} \frac {(\epsilon x)^n}{n!}  = \sum_{n \ par} \frac {x^n} {n!} + \sum_{n \ impar} \frac {\epsilon \cdot x^n} {n!} = \sum_{n \ par} \frac {x^n} {n!} + \epsilon \left ( \sum_{n \ impar} \frac {x^n} {n!} \right ) =  ch \, x + \epsilon \ sh \, x

En resumen:

     e^{\epsilon x} = ch \, x + \epsilon \ sh \, x      

Esto permite reescribir las dos relaciones anteriores recuadradas así:

     e^{\epsilon (x + y)} = e^{\epsilon x} e^{\epsilon y} \ , \ \ 
 \left ( e^ {\epsilon x} \right )^n = e^{\epsilon nx}        

Desarrollos en series

Como partes par e impar de la exponencial, los desarollos en series de Taylor del seno y coseno hiperbólicos son los siguientes:

\operatorname{sh} \, x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} + \frac {x^9} {9!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

\operatorname{ch} \, x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \frac {x^8} {8!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

Mediante división euclídea de polinomios se obtienen los desarollos de las demás funciones:

\operatorname{th} \, x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots  para  \left |x \right | < \frac {\pi} 2

\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots , para  \left |x \right | < \frac {\pi} 2

Y en series de Laurent (por el término 1 \over x ):

\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots , para  0 < \left |x \right | < \pi

\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots para  , 0 < \left |x \right | < \pi

Funciones recíprocas, derivadas e primitivas

Gracias a las derivadas: sh' =  ch \, y  ch' = sh \, se obtienen sin mayores dificultades a las siguientes:

 \begin{cases} th' = 1 - th^2 = \frac 1 {ch^2} =  sech^2 \\ coth' = 1 - coth^2 = - \frac 1 {sh^2} = - csch^2 \end{cases}    y     \begin{cases} csch' = - coth \cdot csch  \\ sech'  = - th \cdot sech \end{cases}

Al restringir adecuadamente sus dominios y codominios, las funciones hiperbólicas se vuelven biyectivas. Su recíprocas tienen una variedad de apelaciones: cosh^{-1} = ch^{-1} = argch = arcch = ach =argcosh = arccosh = arcosh = ... según los países y las costumbres. Aquí hemos escogido la notación más corta que prescinde del exponente «-1» que se mezcla mal con el símbolo «'» de la derivación: ash, ach, ath ... (el prefijo "a" es la abreviatura de "área" que proviene de la definición geométrica de estas funciones)

Estas recíprocas intervienen muy a menudo en el ámbito de las integrales reales, por eso nos hemos restringido al dominio real. sh es biyectiva de \mathbb{R} hacia \mathbb{R}, ch lo es del intervalo [0; +∞[ hacia [1; +∞[, th de \mathbb{R} hacia ]-1; 1[

ash \, x= \ln \left ( 1 + \sqrt{x^{2}+1} \right )

Prueba: Hay que expresar x en función de y en sh x = y: e^x - e^{-x} = y \Longleftrightarrow  e^x - e^{-x} - y = 0  \Longleftrightarrow e^{2x} - y e^x  - 1 = 0 
\Longleftrightarrow X^2 - yX - 1 = 0 \ \ con \ \ X=e^x . Esta ecuación de segundo grado en X tiene como única solución estrictamente positiva X = y + \sqrt{y^2 + 1} luego, como X = e^x > 0 (por eso se descarta la solución negativa) x = \ln \left ( 1 + \sqrt{y^{2}+1} \right ) = ash (y) lo que da la expresión de ash.

ash'x= \frac 1 {\sqrt{x^{2}+1}}

Prueba: Obviamente se puede derivar la expresión anterior, pero lo más rápido es utilizar la propiedad de la derivada de la función recíproca: (f^{-1})'(y) = \frac 1 {f'(x)}, \ \ con \ y = f(x).
y = sh \, x, \ \ ash'y = \frac 1 {sh' x} = \frac 1 {ch \, x} = \frac 1 {\sqrt{sh^2 x + 1}} = \frac 1 {\sqrt{y^2 + 1}}\ \ (ch^2 = sh^2 + 1)
Las expresiones siguientes se demuestran de la misma manera.

ach \, x = \ln \left ( x + \sqrt{x^{2}-1} \right ) \ \ \ , \ \ \ ach' x= \frac 1 {\sqrt{x^{2}-1}}


ath \, x = \frac 1 2 \ln \left ( \frac {1 + x} {1 - x} \right )  \ \ \ , \ \ \ ath' x = \frac 1 {1 - x^2}

Como consecuencia conocemos la integrales generales siguientes:

\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+k^2}}}= ash \left( \frac x k \right)  + c (con c y k constantes cualesquieran, k no nulo), \int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-k^2}}}= ach \left( \frac x k \right) + c ,

\int{\frac{du}{k^2-x^2}}=\frac 1 k ath \left( \frac x k \right) + c; \ \  |x| < |k|

Además tenemos, gracias a las demás funciones hiperbólicas recíprocas:

\int{\frac{dx}{k^2-x^2}}=\frac 1 k acoth \left( \frac x k \right) + c; \ \ |x| > |k|

\int{\frac{dx}{ x \sqrt{k^2-x^2}}}=- \frac 1 k asech \left( \frac x k  \right) + c,\ \  |x| < |k|

\int{\frac{dx} {x \sqrt{k^2 + x^2}}}= - \frac 1 k acsch \left| \frac x k \right| + c

Sin olvidar estas relaciones que no precisan de las recíprocas: \int sh \, kx \,dx = \frac 1 k ch \, kx + c , \int ch \, kx \,dx = \frac 1 k sh \, kx + c

\int th \, kx \,dx = \frac 1 k \ln (ch \, kx) + c , \int coth \,tx\,dx = \frac 1 k \ln (sh \, kx) + c

Referencias

Fuentes empleadas y notas

  1. En la base \left ( \frac {\sqrt{2}(1+\epsilon)} 2 , \frac {\sqrt{2}(1-\epsilon)} 2  \right ) este anillo es trivialmente isomorfo a
    \mathbb{C}^2
    , que tiene una estructura multiplicativa muy sencilla


Otras fuentes de información
Autor: M.Romero Schmidtke