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Función gamma

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Sea z un número complejo con su parte real positiva: z = x + y·i,

tal que x e y son reales, x = Re(z) > 0.

Entonces la siguiente integral converge absolutamente, y define así una función llamada gamma (o gama):

$\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}\,dt$

Está función tiene la notable propiedad siguiente: Γ(z + 1) = z·Γ(z), siempre que Re(z) > 0. Esto se demuestra integrando por partes:

Esta propiedad permite establecer por inducción que para todo número natural no nulo n:

Γ(n) = 1 × 2 × 3 × ... × (n - 1) = (n - 1)!

es decir que la función Γ generaliza la definición de factorial desde los números naturales a los números complejos.
La fórmula Γ(z + 1) = z·Γ(z) permite prolongar a todo $\mathbb{C}-\mathbb{Z}^-$ la función Γ empleando $\Gamma(z) = \frac{\Gamma(z + 1)} z$ .