La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Fracción continua

De la Enciclopedia Libre Universal en Español
Saltar a: navegación, buscar

Introducción

Sea un número real dado por su escritura decimal (con una inevitable imprecisión si es trascendental). En muchos casos resulta interesante conocer su forma fraccional si es un número racional, o hallar una fracción que lo aproxime "bien" si es un número irracional.

Todo número racional presenta un desarrollo decimal periódico (sus cifras se repiten a partir de cierto rango), y esta propiedad permite encontrar una fracción igual al número (vean dos ejemplos aquí). Sin embargo, los cálculos pueden ser fastidiosos, sobre todo si el período es grande, y si supera el número de digitos que puede mostrar la pantalla de la calculadora, este método es inaplicable.

Las fracciones continuas permiten hallar facilmente esta fracción, y aplicadas a los irracionales dan buenas aproximaciones racionales. Además permiten encontrar los coeficientes de la identidad de Bézout de una manera alternativa al algoritmo de Euclides, con el que tienen un parentesco natural.

Una fracción continua (normalizada) tiene la forma siguiente:  a_0 + \frac 1 {a_1 + \frac 1 {a_2 + \frac 1 {a_3 + \frac 1 { \ddots a_{n-1} + \frac 1 {a_n} }}}} .

Los numeradores son todos iguales a 1, y los coeficientes ai, 1 ≤ i ≤ n son enteros positivos no nulos.

Esta forma - fracción de multiples barras - parece artificial y poco práctica, sin embargo es la forma que surge naturalmente del método de las fracciones continuas.

Los editores de libros matemáticos insistieron en disponer de otra notación, menos complicada.
La más académica es  [ a_0;\  a_1;\  a_2;\  a_3\  ...\  a_n ] \ para la fracción continua anterior.

Otra alternativa es  a_0 + \frac 1 {a_1 +} \  \frac 1 {a_2 +} \  \frac 1 {a_3 +} \ ... \ \frac 1 {a_n} para la misma expresión.


Método

Dos ejemplos para explicar e ilustrar el algoritmo.

1) Sea a = 2,230769 \ 230769 \  ... un racional cuya forma fraccionaria desconocemos de momento. Su parte entera es  \lfloor a \rfloor = 2 y su parte fraccionaria es  b = a - \lfloor a \rfloor = 0,230769 \ 230769 \  ... .

Como b pertenece al intervalo [0; 1[, se nos ocurre aproximarlo por el inverso de un entero c. Da lo mismo aproximar 1 \over b por un entero.

 \frac 1 b = \frac 1 {0,230769 230769 ...} = 4,333333333333.... es cercano a  c = \lfloor b \rfloor =  \lfloor 4,333333... \rfloor = 4 . Luego \frac 1 b = c + 0,333333... = c + d y repetimos con d lo hecho con b pues también está en [0; 1[.

 \frac 1 d = \frac 1 {0,3333333333...} = 3 no queda parte fraccionaria, así que se para el cálculo.


Ahora recapitulemos:

a = 2 + b = 2 + \frac 1 {4,333333....} = 2 + \frac 1 {4 + d} = 2 + \frac 1 {4 + \frac 1 3}     que es de la forma adecuada.

Luego: 2 + \frac 1 {4 + \frac 1 3}= 2 + \frac 1 {\frac {13} 3} = 2 + \frac 3 {13} = \frac {29} {13}     es la fracción que se buscaba.

Resultado adicional: si se considera la fracción continua del rango n-1, es decir si se borra el 1 \over a_n de la fracción, se obtienen los coeficientes de la identidad de Bézout del numerador y denominador de la fracción inicial.

En el ejemplo:  2 + \frac 1 4 = \frac 9 4    y 9 y 4 son los coeficientes v y u tales que 13v - 29u = 1.

El método que se deduce de los cálculos anteriores se resume en el algoritmo siguiente:


1- escribir la parte entera de x, (da el coeficiente an)

2- remplazar x por \frac 1 {x - [x]} y volver al inicio (hasta obtener un x entero, lo que imposibilita el segundo paso)

Escrito en un pseudo lenguaje informático, da:

n = 1; el valor inicial de n es 1
pedir el valor de x
inicio del bucle
an = [x]; escribir an
salir del bucle si x es entero
x ← 1/(x - [x])     ( el nuevo valor de x)        
n ← n + 1      ( incrementar n )
fin del bucle

2) Ahora se puede aplicar el algoritmo, con un número irracional: π.
Se da a continuación los coeficientes an, las fracciones continuas "parciales", el valor decimal aproximado, y el error cometido (comparado con π, en tanto por 1). En negrita, las decimales exactas.

[3] \frac {P_0} {Q_0} = \frac 3 1 = 3 3 (-) 0,05
[3; 7] \frac {P_1} {Q_1} = \frac {22} 7 3,142 857 142 ... 0, 000 4
[3; 7; 15] \frac {P_2} {Q_2} =  \frac {333} {106} 3,141 509 434 ... (-) 0,000 03
[3; 7; 15; 1] \frac {P_3} {Q_3} = \frac {355} {113} 3,141 592 920 ... 0,000 000 08
[3; 7; 15; 1, 292]  \frac{P_4} {Q_4} = \frac {103 993} {33 102} 3,141 592 65 3 ... (-) 0,000 000 000 2

Resultados

Como se observa con el ejemplo anterior, la sucesión de fracciones continuas tiende hacia su límite a una velocidad sorprendente (de modo parecido a una sucesión geométrica) : en cinco pasos, el error relativo es del orden de 10 -10.


La rapidez de convergencia depende en gran medida de la naturaleza del número: si es racional, (se obtiene el valor exacto en un número finito de pasos), si es irracional, hay que distinguir entre los trascendentales y los algebraicos, y en estos últimos, los cuadráticos tienen un comportamiento particular.

Las fraciones continuas "parciales" \frac {P_0} {Q_0},  \frac {P_1} {Q_1}, \frac {P_2} {Q_2} ... \frac {P_n} {Q_n} aproximan el número alternativamente por defecto y exceso.


En la última tabla, las aproximaciones por defecto se indicaron con un signo (-).

Las fraciones continuas "parciales" dan relaciones de Bézout: P_n \cdot Q_{n+1} - P_{n+1} \cdot Q_n = \pm 1

En el ejemplo anterior: 3×7 - 22×1 = -1; 22×106 - 7×333 = 1; 333×113 - 106×355 = -1; 355×33102 - 113×103993 = 1


Los irracionales cuadráticos, es decir los irracionales raíces de una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros tienen la propiedad característica de tener un desarollo en fracción continua periódico: los coeficientes an se repiten a partir de cierto rango:

a_{T+n} = a_n,\mbox{ para todo } n > n_o, \mbox{ con } T>0 \mbox{ el período} \

Las aproximaciones son cada vez más precisas a medida que aumenta n, sin embargo el precio de esta precisión es el aumento del tamaño del numerador y del denominador de la fracción.

Las fracciones continuas que dan las mejores aproximaciones tomando en consideración el tamaño del numerador y del denominador son las [ao, a1, a2, a3, ... an] tales que el primer coeficiente que no interviene, an+1, es el mayor posible.

En el ejemplo anterior,  \frac {22} 7 es una relativamente buena aproximación ( pues a2 = 15).

De hecho, los Egipcios creían que π tenía este valor.

Al contrario,  \frac {333} {106} es una mala aproximación ( pues a3 = 1). Aumentando ligeramente el denominador y el numerador, se obtiene una muchísimo mejor: \frac {355} {113} (con a4 = 292), da dos decimales exactas más.

Referencias

Autor: M.Romero Schmidtke.

Artículos relacionados

Fuentes empleadas y notas