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Fracción (matemáticas)

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Cuando medimos una cantidad con su unidad entera de medida se pueden dar los siguientes resultados:

|1| La unidad entera está contenida en la cantidad un número exacto de veces. (números naturales y enteros)

|2| La cantidad es menor que la unidad entera y se tiene que buscar un submúltiplo de la unidad entera, para poder medir la cantidad, resultando que al medir con la unidad submúltiplo se obtiene un número exacto. (número fraccionario propio)

|3| La unidad entera no está contenida en la cantidad un número exacto y hay un resto inferior a la unidad entera; se obtiene la necesidad de medir el resto con un submúltiplo de la unidad entera, dando el caso 2. (números fraccionarios impropios o mixtos)

|4| Que ni la unidad entera ni ninguna fraccionaria este contenida en una cantidad. (múmeros irracionales).

En este apartado estudiaremos los casos 2 y 3.

Razón de existir de los números fraccionarios

Las cantidades las representamos por números. Cada número indica las veces que la unidad entera está contenida en la cantidad a medir o contar.

Si tenemos que medir una cantidad de N unidades con otra de M unidades, siendo N<M resulta imposible hacerlo. Ejemplo: es imposible medir o dividir 3 por 5 ya que 3<5.

La solución de dividir un número N por M siendo N<M consiste en dividir a la unidad entera en M partes y entonces la división será posible ya que (NxM)/M es posible. El resultado será (NxM)/M=N y la forma de representar este resultado es la misma que la división indicada N/M, significando que de M partes en que consideramos dividida la unidad tomamos N.

Definicón de unidad fraccionaria

Unidad fraccionaria es cada una de las partes iguales en que se puede dividir una unidad entera.

Imaginariamente la unidad entera se puede dividir en infinitas partes. Se puede dividir en tantas partes como número naturales hay, que son infinitos; luego la cantidad de clases de unidades fraccionarias son infinitas. Ejemplo: La mitad de algo, la tercera parte , la cuarta parte, la quinta parte, la sexta parte de algo....etc

La extensión de una unidad fraccionaria depende de la extensión de la unidad entera; así la mitad de un metro no es igual a la mitad de un kilómetro.

Definición fracción

Número fraccionario es una cantidad limitada de unidades fraccionarias de una clase concreta.

Ejemplos:

3/4 que se lee tres cuartos y significa que de cuatro partes en que se divide la unidad tomamos tres.

2/5 que se lee dos quintos y significa que de cinco partes en que se divide la unidad tomamos dos.

Términos

En todo número fraccionario distinguimos las siguientes partes: El númerador, el denominador y el signo fraccionario.

El numerador es el término que indica la cantidad de unidades fraccionarias que tomamos al dividir la unidad entera.

El denominador indica la clase de unidad fraccionaria o las partes en que se divide la unidad entera.

El signo fraccionario es la línea que separa el numerador del denominador y es la misma que la de dividir.

Ejemplo: 3/7 donde 3 es el numerador, (/ ) es el signo fraccionario y 7 la clase de unidad fraccionaria o partes en que se divide la unidad entera.

Representación

Para representar un número fraccionario, de forma escrita, se pone primero el númerador separado del denominador por el signo de dividir (/).

Si dividimos la unidad entera en 8 partes y tomamos 5 de ellas, se indicaría así: 5/8 y se lee cinco octavos.

La forma oral de representarlo es añadir el sufijo –AVO- al nombre cardinal. Ejemplo 5/11 se lee cinco onceavos, 7/19 se lee siete diecinueveavos.

Para representar los números fraccionarios comprendidos entre 2 y 10 se podría utilizar la forma general, pero se suele utilizar nombres especiales sacados de los ordinales y de submúltiplos de unidades de capacidad.

Así la unidad fraccionaria de clase 2 se lee un medio, la de 3 un tercio, 4 un cuarto, 5 un quinto, 6 un sexto, 7 un séptimo, 8 un octavo, 9 un noveno y 10 un décimo. Las clases 2 y 3 son sacadas de los submúltiplos de unidades de capacidad y del 4 al 10 de los números ordinales.

Las 10 primeras clases de fracciones se podrian haber indicado de la siguiente forma: un dosavo, un tresavo, un cuatroavo, un cincoavo, un seisavo, un sieteavo, un ochoavo, un nueveavo y un diezavo, pero no es habitual ni admitido hacerlo así.

Semejanza entre fracción, división y razón

Se ve facimente que la unidad fracción representa una división de la unidad entera en un número de partes iguales y un número fraccionario es una cantidad de unidades fraccionarias.

La razón de dos números es hayar un número que multiplicado por el divisor de el dividendo y por consiguiente es una división.La diferencia con una fracción, es que tanto el númerador como el denominador puede ser cualquier número de la serie real.

Tanto las fracciones como las razones son divisiones y tienen las propiedades de esta.

Clases de fracciones

Las fracciones se pueden clasificar en propias e impropias

Las fracciones propias son las que el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 4/7, 8/11, 9/66 ...etc

Las fracciones impropias son aquellas que el numerador es mayor que el denominador; estas fracciones también se llaman mixtas ya que forman una parte entera y otra fraccionaria. Ejemplo: 44/5, 15/3, 23/12...etc

Las fracciones impropias se pueden representar en forma de número mixto de la siguiente forma: Así 44/5 es igual 8+4/5 ó bien 8 4/5.

Tanto las fracciones propias como las impropias pueden ser fracciones decimales y son de este grupo las que su denominador es la unidad seguida de ceros.

Propiedades básicas

|1| La unidad fraccionaria es mayor cuanto más pequeño es el denominador. Esto es lógico, ya que si una cantidad fija de magnitud la dividimos en menos partes estas son más grandes. Ejemplo: 1/2>1/4 ya que la mitad de un mismo todo es mayor que un cuarto.

|2| De dos fracciones de igual denominador es mayor la de menor numerador. Es lógico, ya que representan una menor cantidad de unidades fraccionarias. Ejemplo: 2/5<4/5 ya que 2 unidades fraccionarias, de la misma clase, son menos que 4.

|3| De dos fracciones de igual numerador y distinto denominador es mayor la de menor denominador. Es lógico, ya que un conjunto idéntico de unidades fraccionarias sera mayor que otro si la unidad fraccionaria es mayor. Ejemplo: 4/7>4/9 por ser 1/7>1/9

|4| Un número entero se puede indicar en forma de fracción dividiendolo por la unidad. Ejemplo 4=4/1, 6=6/1, (-4)=-(4/1).

Propiedades variativas del numerador

Son aquellas en las que consideramos operaciones aritméticas en el numerador sin variar el denominador.

|1| Si sumamos o restamos un número al numerador sin que varie el denominador la fracción resultante es mayor o menor que la inicial. Es lógico ya que aumenta o disminuye la cantidad de unidades fraccionarias

|2| Si multiplicamos por un número el numerador sin que varie el denominador la fracción resultante es mayor que la inicial y queda multiplicada por dicho número.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la fracción N/D y el número A que multiplicamos por el numerador; resultará que NxA/D=(N+N+N..etc A veces)/D y se ve facilmente que el resultado tiene más unidades fraccionarias que la inicial, luego N/D<(NxA)/D. Sabemos, por otro lado, que una fracción es un cociente, luego (NxA)/D=(N+N+N...A veces)/D=(N/D)+(N/D)+(N/D)...etc A veces=(N/D)xA viendo que la fracción N/D queda multiplicada por A.

|3| Si dividimos por un número el numerador sin que varie el denominador la fracción resultante es menor que la inicial y queda dividida por dicho número.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la fracción N/D y el número A que dividimos por el numerador donde N=AxC. Resultará que (N/A)/D=C/D donde el numerador tendrá A veces unidades fraccionarias menos que la fracción inicial, luego N/D>(N/A)/D en A veces.

Sabemos que (N/D)/A=(N/D)x(1/A)=N/(DxA) donde al aumentar A veces el denominador la fracción se hace A veces menor, quedando dividida por A.

|4| Si potenciamos o radicamos el numerador sin que varie el denominador la fracción resultante es mayor o menor que la inicial. Es lógico ya que aumentan o disminuyen las unidades fraccionarias.

Propiedades variativas del denominador

Son aquellas en las que consideramos operaciones aritméticas en el denominador sin variar el numerador.

|1| Si sumamos o restamos un número al denominador sin que varie el numerador la fracción resultante es menor o mayor que la inicial. Es lógico ya que aumenta o disminuye la amplitud de la unidad fraccionaria.

|2| Si multiplicamos por un número el denominador sin que varie el numerador la fracción resultante es menor que la inicial y queda dividida por dicho número.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la fracción N/D y el número A que multiplicamos por el denominador; resultando que N/(DxA) tiene la unidad fraccionaria menor a la inicial, luego N/D>N/(DxA). Sabemos, por otro lado, que al hacer la unidad fraccionaria 1/D un total de A veces más grande la fracción queda dividida por dicho número ya que 1/D está contenida en 1/(DxA) un cantidad de A veces.

|3| Si dividimos por un número el denominador sin que varie el numerador la fracción resultante es mayor que la inicial y queda multiplicada por dicho número.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la fracción N/D y el número A que dividimos por el denominador; resultando que N/(D/A) tiene la unidad fraccionaria mayor a la inicial, luego N/D<N/(D/A). Sabemos, por otro lado, que al hacer la unidad fraccionaria 1/D un total de A veces más pequeña, la fracción queda dividida por dicho número ya que 1/(D/A) está contenido en 1/D una cantidad de A veces.


|4| Si potenciamos o radicamos el denominador sin que varie el numerador la fracción resultante es menor o mayor que la inicial. Es lógico ya que disminuye las unidades fraccionarias.

Propiedades variativas del numerador y denominador

Son aquellas en las que consideramos operaciones aritméticas en el numerador y el denominador.

|1| Si sumamos o restamos un número al numerador y denominador de una fracción propia el resultado será una fracción mayor o menor que la inicial y en el caso de ser impropia el resultado será menor o mayor que la inicial.

DEMOSTRACIÓN:

Sea A/B y un número C donde la resta de B-A=D al ser la fracción propiaa. Si sumamos C a A y B tendremos (A+C)/(B+C) y la diferencia entre (B+C)-(A+C)=D según propiedad de diferencia nula de la resta.

Como a A/B le falta para ser la unidad D/B unidades fraccionarias y (A+C)/B+C) le faltan D/(B+C); luego D/B>D/(B+C) al ser la unidad fraccionaria 1/B>1/(B+C).

Siendo (A/B)+(D/B)=1 y ((A+C)/(B+C))+D/(B+C)=1 como D/B>D/(B+C) entonces A/B<(A+C)/(B+C).

Si la fracción fuera impropia A-B=D y los resultados excederian de la unidad dando resultados opuestos.

En el caso de la resta sería inverso, ya que se puede tomar la variación (A-C)/(B-C) como fracción inicial a la que sumando C dando A/B.

|2| Si multiplicamos o dividimos por un número el numerador y denominador la fracción resultante es equivalente y tiene el mismo valor que la inicial.

DEMOSTRACIÓN: Como una fracción es una división y según la propiedad del cociente invariable de la división, en las fracciones se produce la misma realidad.

Ejemplo: 2/3=(2x5)/(3x5) y 2/3=(2/5)/(3/5)=(2/5)x(5/3)

Esta propiedad es muy importante y por consiguiente se le denomina fundamental de las fracciones, enunciandose así: Si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por un número la fracción no varía.

Reducción de fracciones a un común denominador

Reducir fracciones a un común denominador es hayar unas fracciones equivalentes, a otras con denominador diferente, pero que tengan igual denominador. Ejemplo 1/2, 3/4 y 3/8; reducirlo a un común denominador es hayar otras tres que sean equivalentes a estas, pero con igual denominador, las cuales son: 4/8, 6/8 y 3/8.

Los prodedimientos más utilizados, que se basan en la propiedad fundamental, son:

|A| El de la multiplicación de los denominadores, que consiste en los siguientes pasos:

1-Multiplicar todos los denominadores entre si dando un múltiplo común que servirá de denominador común

2-Multiplicar cada numerador por el cociente del resultado anterior dividido por su denominador.

Ejemplo: 7/9 y 3/5 que deseamos otras fracciones equivalentes con denominador común. Entonces 9x5=45 que es el denominador común y como 9 lo hemos multiplicado por 5=45/9 a 7 lo tendremos que multiplicar también por 5 resultando 35/45 que es equivalente a 7/9 según propiedad fundamental de las fracciones.

En el caso de 3/5 como a 5 lo hemos multiplicado por 9, el numerador 3 lo multiplicaremos también por ese número, resultando 27/45 que es equivalente a 3/5.

|B| El del mínimo común múltiplo de los denominadores. Este método es similar que el anterior, pero en vez de utilizar como denominador común el producto de los denominadores, se utiliza su mínimo común múltiplo, que en algunos casos coincide uno con el otro.

Ejemplo: 3/12 y 5/16 donde el m.c.m de 12=(2x2)x3 y 16=(2x2)x2x2 donde lo común es (2x2) y lo no común 3x2x2, siendo su m.c.m 4x3x2x2=48. Como 48/12=4 la primera fracción se transforma en 3x4/48=12/48 y la segunda e 48/16=3 y 5x3/48=15/48

Otras definiciones de interés

Fracción irreducible es aquella en que el numerador y denominador son primos entre si. Ejemplo: 3/5, 4/9, 8/27...etc el 3 y 5 son primos, el 4=2x2 y 9=3x3 y sus productos son primos no comunes y 8=2x2x2 y 27=3x3x3 que tampoco son comunes.

Fracciónes equivalentes son aquellas que tienen términos distintos pero representan el mismo valor fraccionario. Ejemplo 4/8 y 8/16 ya que 8/16 es el resultado de multiplicar 4 y 8 por 2.

Es evidente que si una fracción irreducible se multiplican ambos términos por un fractor natural el resultado será una fraccíon equivalente.

Las fracciones irreducibles no tienen ningún divisor común ya que el producto de factores primos, que define al numerador y denominador, no tienen ningún número primo común.

Fracción inversa de otra es aquella que sus términos estan invertidos y su producto con la inicial da 1. Ejemplo: 2/3 y 3/2 siendo (2/3)x(3/2)=(2x3)/(3/2)=1

Operaciones con fracciones

Con las fracciones se pueden hacer las mismas operaciones aritméticas que con los enteros y las reglas del signo son las mismas que la de los números enteros

Suma de fracciones

Los casos generales que se pueden presentar son:

1-Sumar fracciones de igual denominador.

En este caso el resultado es una fracción que tiene por numerador la suma de los numeradores de los sumandos y como denominador el mismo de ellos.

El procedimiento anterior es lógico ya que las unidades fraccionarias son de la misma clase y se pueden sumar.

Ejemplo: (2/8)+(4/8)=(6/8)

2-Sumar fracciones con distinto denominador.

Se reducen las fracciones sumandos a común denominador y después se procede como en el caso anterior.

El tener que reducir las fracciones a común denominador es lógico, ya que no se pueden sumar unidades fraccionarias de distintas clases.

Ejemplo: (2/5)+(5/11) que reducidos a común denominador son igual a 22/55 y 25/55 que sumados dará (22/55)+(25/55)=45/55

En el caso de sumar enteros con fraccionarios, mixtos con mixtos, fraccionarios con mixtos...etc se transforman todos los sumandos a números fraccionarios y se procede como los casos 1 y 2.

Resta de fracciones

Los casos generales que se pueden presentar son:

1-Restar fracciones de igual denominador.

En este caso el resultado es una fracción que tiene por numerador la resta de los numeradores del minuendo menos el sustraendo y como denominador el mismo de ellos.

El procedimiento anterior es lógico ya que las unidades fraccionarias son de la misma clase y se pueden restar Ejemplo: (6/8)-(4/8)=(2/8)

2-Restar fracciones con distinto denominador.

Se reducen las fracciones a común denominador y después se procede como en el caso anterior.

El tener que reducir las fracciones a común denominador es lógico ya que no se pueden restar unidades fraccionarias de distintas clases.

Ejemplo: (5/9)-(3/11) que reducidos a común denominador son igual a 55/99 y 27/99 que sumados dará (55/99)-(27/99)=28/99

En el caso de restar enteros con fraccionarios, mixtos con mixtos, fraccionarios con mixtos...etc se transforman todos los términos a números fraccionarios y se procede como los casos 1 y 2.

Multiplicación de fracciones

Los casos que se pueden presentar son:

1-Multiplicar una fracción por un número entero.

La multiplicación de una fracción por un número es otra fracción que tiene como numerador el producto del numerador de la fracción por el entero y como denominador el mismo.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la fracción A/B y el número C su producto sería (A/B)xC que es igual a (A/B)+(A/B)...etc C veces=(A+A+A...etc C veces)/B=AxC/B, que es lo deseabamos demostrar.

2-Multiplicar dos fracciones

La multiplicación de varias fracciones tiene como resultado una fracción con numerador igual al producto de los numeradores de los factores y como denominador el producto de los denominadores.

DEMOSTRACIÓN:

Como multiplicar es hacer un número lo que el otro es respecto a la unidad, tendremos que (A/B)x(C/D) es hacer (A/B) lo que (C/D) es respecto a 1 y esta fracción indica que hemos multiplicado por C a 1 y luego dividido por D.

Para multiplicar (A/B)xC será (AxC)/B y dividir esto por D será lo mismo que multiplicar por 1/D dando (AxC)/(BxD) que es lo que deseabamos demostrar.

Cualquier otro caso se reducen todos los números a fraccionarios y se procede como los casos anteriores.

División de fracciones

Los casos que se pueden presentar son:

1-Dividir una fracción por un número entero.

La división de una fracción por un número es otra fracción que tiene como numerador el mismo y como denominador el producto del entero por el denominador divisor.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la fracción A/B y el número C su división sería (A/B)/C que es igual (A/B)x(1/C)=A/(BxC) que es la demostración.

2-División de dos fracciones

La división de dos fracciones tiene como resultado una fracción con numerador igual al producto del numeradores del dividendo por el denominador del divisor y como denominador el producto del denominador del dividendo por el numerador del divisor.

DEMOSTRACIÓN:

Como dividir es multiplicar el dividendo por el inverso del divisor tendremos que (A/B)/(C/D)=(A/B)x(D/C)=(AxD)/(BxC) que es lo deseado en demostrar.

Cualquier otro caso se reducen todos los números a fraccionarios y se procede como los casos anteriores.

Potenciación de fracciones

Una fracción elevada a una potencia es otra fracción que tiene como numerador la potencia del numerador y como denominador la potencia de este.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la potencia ...etc N veces=(AxA...etc N veces)/(BxB...etc N veces)= que es la demostración.

Radicación de fracciones

La raiz de una fracción es otra fracción que tiene como numerador la raiz del numerador y como denominador la raiz de este.

DEMOSTRACIÓN:

Sabiendo que toda radicación se puede expresar en forma de potencia fraccionaria poniendo como numerador la unidad y como denominador el indice radical, deduciremos lo siguiente:

Sea la raiz según la propiedades de la potenciación y el caso anterior de potenciar una fracción.

Logaritmación de fracciones

Transformación de fracciones

Algunos casos que se nos pueden presentar son:

1-Transformar un número entero a fracción.

Para tansformar un entero a fracción basta dividir este por la unidad o tambiém multiplicar dicho entero por un número y poner el resultado como numerador y el denominador igual al mencionado factor operativo.

Ejemplo: Transformar 8 a fracción. Se puede hacer así 8/1 o bien 8x2/2=16/2.

2-Transformar una fracción determinada en irreducible.

Si una fracción no es irreducible admitira divisores comunes al numerador y denominador. Se descomponen en factores primos el numerador y denominador y se eliminan los comunes, dejando aquellos que no lo son.

Ejemplo: 12/45 donde 12=2x2x3 y 45=5x3x3 los comunes son el 3 y quedan 2x2/5x3=4/15 que es equivalente a 12/45 según propiedad fundamental de las fracciones.

3-Transformar una fracción impropia a número mixto.

Se divide el numerador por el denominador y el cociente será el número entero y como parte fraccionaria el resto como numerador y el denominador el mismo.

Ejemplo: 34/5 donde 34=(5x6)+4 resultando 6+4/5=6 4/5.

4-Transformar un número mixto a fracción impropia.

Se multiplica la parte entera por el denominador y se le suma el numerador, poniendo ese total como numerador de la fracción impropia y el denominador el mismo.

Ejemplo: 5 6/11 sería igual a (5x11)+6/11=61/11.

4-Transformar una fracción en otra equivalente.

Si la fraccíon es irreducible se multiplica tanto numerador como denominador por un número cualquiera.

Ejemplo: 1/3 es equivalente con 2x1/2x3=2/6.

Si la fracción no es irreducible se multiplica o divide los dos términos de la fraccíon por un numero.

Ejemplo: 4/8 es equivalente con (4/2)/(8/2)=2/4 y también con (4x2)/(8x2)=8/16.

Referencias

Artículos relacionados

Bibliografía

  • Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
  • Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
  • González Aguilar, Jorge. Matemáticas. 

Otras fuentes de información

Notas