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Factorial

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Para todo n entero natural, se llama factorial (de) n al producto de todos los enteros entre 1 y n:

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n$

Se impone 0! = 1 , para que la relación n! = n × (n - 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por inducción.

Los primeros factoriales son:

1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120 ; 6! = 720 ; 7! = 5040 ...

Las factoriales se usan mucho en la rama de la combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarollada de $(a + b) n$ :

$(a + b)^n = a^n + n\cdot a^{n-1} b + C_{n,2}\cdot a^{n-2} b^2 + \cdots + n\cdot ab^{n-1} + b^n$

con:

$C_n^k = {n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}$

Por medio de la combinatoria, las factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor, y de MacLaurin). Se generalizan a los reales y hasta a los complejos con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.

Existe un equivalente, cuando n tiende al infinito, del factorial n, dado por la fórmula de Stirling: