La Enciclopedia Libre Universal en Español dispone de una lista de distribución pública, enciclo@listas.us.es

Fórmula de De Moivre

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Saltar a navegación, buscar

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i es la unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos x y sen x. Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Índice

[escribe] Obtención

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler: e^{ix} = \cos x + i \, \operatorname{sen} x aplicando las leyes de la exponenciación \left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .\,. Entonces e^{i(nx)} = \cos(nx) + i \operatorname{sen}(nx)\,.

[escribe] Consecuencias

Tomando x = π en la fórmula de Euler se obtiene e^{i\pi}=-1 \,

Además, a partir de estas dos igualdades:

e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\operatorname{sen} x \,   ,   e^{-ix} = \cos x - \mathrm{i}\,\operatorname{sen} x \,

Se deduce lo siguiente: \cos x = \frac{ e^{ix} + e^{-ix}} 2    ,   \sin x = \frac { e^{ix} - e^{-ix}} {2 i}

[escribe] Demostración por inducción

Consideramos tres casos.

Para n > 0, procedemos a través de la inducción. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

\left(\cos x + i \operatorname{sen} x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \operatorname{sen}\left(kx\right). \,

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

\begin{alignat}{2} \left(\cos x+i\operatorname{sen} x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\operatorname{sen} x\right)^{k} \left(\cos x+i\operatorname{sen} x\right)\\ & = \left[\cos\left(kx\right) + i\operatorname{sen}\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\operatorname{sen} x\right) \qquad \mbox{por la hipotesis de induccion}\\ & = \cos \left(kx\right) \cos x - \operatorname{sen} \left(kx\right) \operatorname{sen} x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \operatorname{sen} \left(kx\right) \cos x\right]\\ & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\operatorname{sen} \left[ \left(k+1\right) x \right] \qquad \mbox{por las identidades trigonometricas} \end{alignat}

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que \cos 0x + i\operatorname{sen} 0x = 1 + 0i = 1, y (por convención) z0 = 1.

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto: \begin{alignat}{2} \left(\cos x + i\operatorname{sen} x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\operatorname{sen} x\right)^{-m}\\ & = \frac{1}{\left(\cos x + i\operatorname{sen} x\right)^{m}}\\ & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\operatorname{sen} mx\right)}\\ & = \cos\left(mx\right) - i\operatorname{sen}\left(mx\right)\\ & = \cos\left(-mx\right) + i\operatorname{sen}\left(-mx\right)\\ & = \cos\left(nx\right) + i\operatorname{sen}\left(nx\right). \end{alignat}

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

[escribe] Generalización

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

\left(\cos z + i \operatorname{sen} z\right)^w

es una función multivaluada mientras

\cos (wz) + i \operatorname{sen} (wz)\,

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

\cos (wz) + i \operatorname{sen} (wz) \,     es un valor de     \left(\cos z + i\operatorname{sen} z\right)^w\,.

[escribe] Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar las raíces enésimas de un número complejo. Si z es un número complejo escrito en la forma polar z=r\left(\cos x+i\operatorname{sen} x\right),\, entonces z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\operatorname{sen} x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\operatorname{sen} \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

dónde k es un entero, para obtener las n raíces diferentes de z solamente se necesita considerar valores de k que vayan desde 0 a n − 1.

[escribe] Referencias

Bibliografía

Notas

Obtenido de «http://enciclopedia.us.es/index.php/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre»
Herramientas personales
Espacios de nombres
Variantes
Acciones
Navegación
Herramientas
Crear un libro