Extensión de un cuerpo

Definición:
Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si:

1. K está incluido en L como conjunto.
2. La adición + de K es la restricción de la de L.
3. La multiplicación · de K es la restricción de la de L.

Propiedad 1: Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial.

Ahora bien, cuando se considera un espacio vectorial, lo primero que se trata de saber es su dimensión: ¿Es finita o infinita?

Tomemos varios ejemplos:

K = Q el cuerpo de los racionales y L = R el de los reales; Las raíces de los enteros primos (√2, √3, √5, √7,...) son linealmente independientes sobre Q, lo que implica que R visto como espacio vectorial sobre Q, es de dimension infinita.
Otro modo de obtener este resultado es considerar los números e, e²,e³... donde el número e es la base de los logaritmos neperianos. Como e es trascendental, no existe ningún polinomio no nulo P tal que P(e) = 0, lo que significa que 1,e, e², e³ ... son linealmente independientes. De aquí la dimensión infinita.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de R sobre Q fuese finita, R sería isomorfo a Qⁿ, lo que no es posible porque el cardenal de Qⁿ es el mismo que él de Q (igual al de N, aleph₀) que es estrictamente inferior al de R.

K = Q, el cuerpo de los racionales y L = Q(√2), el menor cuerpo que contiene a la vez Q y √2. L es también el conjunto de los P(√2), donde P es cualquier polinomio con coeficientes en Q.
Reagrupando los monomios de potencias pares por una parte, e impares por otra, de P(√2), se ve que los elementos de Q(√2) son los números de la forma a+b√2, con a y b racionales. Por lo tanto (1, √2) es una base de L visto como espacio vectorial sobre K, lo que significa que su dimensión es 2.
Hay que relacionar esta dimensión al hecho que √2 es raíz de un polinomio de segundo grado.

Se puede generalizar:

Propiedad 2: Si α es una raíz de un polinomio irreductible (sobre Q) de grado n, entonces Q(α) es una extensión de dimensión n sobre Q.

Autor: M. Romero Schmidtke