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Exponencial

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La función exponencial es la recíproca de la función logaritmo natural.

Con esa definición, su dominio es $\mathbb{R}$ , pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos.

Esta función se nota exp:

$\begin{matrix} exp: \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}_{+}^{*} \\ x & \rightarrowtail & exp (x) = e^x \end{matrix}$

Donde e es la base de los logaritmos naturales.

y = exp x equivale a x = ln y , con y > 0.

La tangente en x = 1, T₁, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T₀, pasa por el punto (-1, 0). Más generalmente, la tangente x pasa por el punto (x-1, 0).

Propiedades

Todas sus propiedades provienen de las del logaritmo.

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial transforma una suma en un producto, pues su recíproca, el logaritmo, transforma el producto en una suma:

$\exp (a+b) = \exp a \cdot \exp b$ o sea $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ como consecuencia, se obtienen facilmente las siguientes fórmulas:

$e^{-a} = \frac 1 {e^a}$

$e^{a-b}= \frac {e^a} {e^b}$

$e^{\frac a n} = \sqrt[n]{e^a}$

sus límites son: $\lim_{x \to - \infty} e^x = 0, \ \ \ \ \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty$

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y verifica la sorprendente relación: e^i·t = cos t + i sin t. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

Más precisamente, para todo z complejo tenemos la igualdad:

$e^z = 1+z+\frac {z^2} 2 + \frac {z^3} 6 + \frac {z^4} {24} + \frac {z^5} {120} + ... = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac {z^n} {n!}$

Esta definición con una serie entera permite generalizar la exponencial a espacios provistos de norma (tal que la serie anterior sea convergente) como los espacios euclidianos. Por ejemplo, se puede hablar de exponencial de matrices cuadradas de dimensión finita.

Autor: M.Romero Schmidtke

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