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Espacio euclídeo

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Un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado de dimensión finita en que la norma es heredada de un producto escalar.

El espacio euclídeo es el espacio matemático n-dimensional usual , una generalización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiados por Euclides. Formalmente, para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional es el conjunto

$\mathbb{R}^n$

junto con la función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia entre dos puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ...,y_n): la raíz cuadrada de Σ (x_i-y_i)², donde la suma es sobre i = 1, ..., n.

Esta función distancia está basada en el teorema de Pitágoras y es llamada métrica euclídea.

El término "espacio euclídeo n-dimensional" es usualmente abreviado a "n-espacio euclídeo", o sólo "n-espacio". El n-espacio euclídeo se denota por Eⁿ, aunque ℝⁿ es bastante usado (sobreentendiendo la métrica). E² se dice el plano euclídeo.

Por definición, Eⁿ es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a Eⁿ es también difeomorfa a ella. El hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).

Se puede decir mucho sobre la espacio topológico de Eⁿ. Un resultado importante, el invariancia del dominio de Brouwer, es el de que cualquier subconjunto de Eⁿ que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de Eⁿ es en sí mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E^m no es homeomorfo a Eⁿ si m ≠ n -- un resultado intuitivamente "obvio" que sin embargo no es fácil de demostrar.

El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio vectorial n-dimensional real , de hecho un Espacio de Hilbert, de manera natural. El producto escalar, de x = (x₁,...,x_n) e y = (y₁,...,y_n) está dado por