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Esfera

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esfera

La palabra proviene del griego σφαῖρα, «sfaira».

Definición

Una esfera es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. También se refiere al sólido cuyo volumen se haya contenido en la superficie anterior; con este significado se emplea específicamente la palabra bola. La esfera es la figura geométrica que para la misma cantidad de volumen presenta una superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos que no se pueden mezclar), existen fuerzas superficiales que desformaran la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este mínimo corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior.

Superficie y Volumen

La superficie de una esfera de radio, r, es   S = 4·π·r2

El volumen de una esfera de radio, r, es   V = 4·π·r3/3

Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la derivada del volumen, y éste es una primitiva (la que verifica V(0) = 0) de la superficie. Este hecho no es casualidad, pues se puede descomponer el volumen en capas de espesor arbitrariamente pequeño dr, y los volúmenes de estas capas se aproximan a S(r)·dr cuando dr tiende hacia cero.
Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio r varía de cero a R da por definición la integral siguiente:

V(R) = \int_0^R S(r)dr


Ecuación

En un sistema de coordenadas ortonormado (ortogonal y unitario), la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1) centrada en el origen es:

x2 + y2 + z2 = 1

Esta ecuación se obtiene considerando el punto M(x,y,z) de la esfera y diciendo que la norma del vector OM es igual a 1.

Más generalmente, la esfera de radio r, de centro Ω(a, b, c) tiene como ecuación:

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2

La ecuación del plano tangente en el punto M(x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: En el caso de la esfera unitaria: x·x' + y·y' + z·z' = 1, y en el segundo ejemplo: (x - a)·(x' - a) + (y - b)·(y' - b) + (z - c)·(z' - c) = r2

Secciones

sección de una esfera por un plano

La intersección de un plano y una esfera, cuando se cortan, es una circunferencia (eventualmente reducida a un punto). La esfera es la única superficie del espacio que tiene esta propiedad.
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o gran círculo.
Si la distancia d entre el plano y el centro es inferior al radio r de la esfera entonces el radio de la sección es, aplicando el teorema de Pitágoras:r' = \sqrt{r^2 - d^2}

intersección de esferas



Por otra parte dos esferas se intersecan si  d ≤ r + r' y |r - r'| ≤ d (son las desigualdades triangulares, y equivalen al que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios. En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un mero punto, que es una circunferencia de radio cero. En general, el radio es \frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)}   con     \quad m = \frac {r+r'+d} 2 el medio perímetro.

Coordenas esféricas

Localizarse sobre la esfera

Para localizar un punto sobre la esfera, las coordenadas cartesianas no son las mejores por varias razones: En primer lugar porque hay tres coordenadas cartesianas mientras que la esfera es un espacio bidimensional, en segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más natural que las coordenadas rectangulares.
Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos, se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo θ. Se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador (K en la figura) - llamados polos - para definir el signo del ángulo φ.
Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Este resultado es muy intuitivo: con una rotación en el plano horizontal (plano del ecuador) y otra vertical (hacia un polo) el punto I puede sobreponerse a cualquier punto de la esfera.
En geometría es norma expresar estos ángulos en radianes (permite calcular longitudes de los arcos de círculos), mientras que en geografía se usan los grados: en este contexto, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma para I el punto del ecuador en el meridiano de Greenwich y para K el polo norte. Latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y longitudes positivas al hemisferio este (como M en la figura).

Introducir el tercer parámetro r = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semiabierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π entonces cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas salvo los del eje vertical (OZ) (donde cualquier valor de φ vale). Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) son dadas por:

 \left\{ \begin{matrix}
x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\
y & = & r \cos\theta \; \mbox{sen }\phi\\
z & = & r \mbox{sen }\theta
\end{matrix} \right.
\qquad \mbox{con }- \frac {\pi} 2 < \theta \le  \frac {\pi} 2 ,\ \ \mbox{  y  } \ \  -\pi < \phi \le  \pi


Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con las fórmulas:

 \left\{ \begin{matrix}
r  =  \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ne 0 \\ 
\theta  =  \mbox{ arcsen } \frac z r = \mbox{ arcsen } \frac z {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\
\phi  =  \mbox{ arsen } \frac y {r \cos \theta} = 2 \mbox{ arsen } \frac y {\sqrt{x^2+y^2} + x} 
\end{matrix} \right.

Esferas en dimensiones superiores

Se generaliza sin problema la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. La definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo, y en un sistema de coordenadas ortonormales, la ecuación de la esfera de radio uno centrada en el origen es:

En dimensión cuatro:      x2 + y2 + z2 + t2 = 1   (t es la cuarta coordenada)
En dimensión n cualquiera:      x12 + x22 + x32 + ... + xn2 = 1

Y para una esfera de radio r, y centro (c1, c2, ... , cn):

(x1 - c1)2 + (x2 - c2)2 + (x3 - c1)2 ... + (xn - c1)2 = r2

El volumen de la esfera (es decir de la bola, contenida en la superficie anterior) en dimensión n se calcula por inducción sobre n.
En efecto, si llamamos Vn el volumen de la esfera unitaria (r = 1) en dimensión n.
Entonces V_{n+1} = I_{n+1} V_{n} \ \mbox{ con } \  I_n = 2\int_0^{\frac {\Pi} 2} \mbox{sen}^n \ t \ dt  la integral de Wallis. Por una integración por partes, se obtiene la relación : I_n = \frac {n-1} n I_{n-2} lo que permite calcular los In también por inducción, conociendo I0 e I1.

La función gamma Γ intimamente relacionada con los factoriales permite expresar sin inducción el volumen de una esfera de radio r en dimensión n: V_n(r) = \frac {\pi^{\frac n 2} r^n} {\Gamma (\frac n 2 +1)}

Aquí están los diez primeros valores de Vn(r) y las superficies correspondientes:

dimensión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Volumen 2r πr2 4πr3
3
π2r4
2
2r5
15
π3r6
6
16π3r7
105
π4r8
24
32π4r9
945
π5r10
120
Superficie 2 2πr 4πr2 2r3 2r4
3
π3r5 16π3r6
15
π4r7
3
32π4r8
105
π5r9
12

El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera lo alcanza en dimensión 7.

La esfera de dimensión 2 es la circunferencia, y la bola correspondiente es el círculo correspondiente, la esfera de dimensión 1 es una reunión de dos puntos distantes de dos radios, y la bola correspondiente es el segmento que los reune.

Esferas en otras métricas

La noción de esfera se generaliza a cualquier espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro a y de radio r es el conjunto
S(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) = r \}
, y la bola correspondiente es
B(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) \le r \}
.

Para no ser demasiado general, nos restringimos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias.

"Esfera" con la norma 1
Para un vector
\vec u(x,y,z)
cualquiera, se definen las normas siguientes:
"Esfera" con la norma 3
||\vec u||_1 = |x| + |y| + |z|
. S(O,1) es un octaedro regular (figura a la izquierda).
||\vec u||_2 = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
. Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual.
||\vec u||_3 = \sqrt[3]{|x|^3+ |y|^3 + |z|^3}
. S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la derecha).
||\vec u||_\infty = max(|x|,|y|,|z|)
. S(0,1) es un cubo.




Autor: M.Romero Schmidtke