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Ecuaciones de Maxwell

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Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéticos. Reciben su nombre de James Clerk Maxwell quién recopiló la ley de Gauss para electricidad, la ley de Gauss para magnetismo, la ley de Faraday y la ley de Ampère. La gran contribución de Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampère, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. De las ecuaciones de Maxwell se desprende la existencia de ondas electromagnéticas propagándose con velocidad c:

El valor numérico de esta cantidad coincide con el valor de la velocidad de la luz en el vacío, con lo cual Maxwell identificó la luz con una onda electromagnética, unificando la óptica con el electromagnetismo.

Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell

La formulación moderna de las ecuaciones de Maxwell es debida a Oliver Heaviside y Willard Gibbs quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales de Maxwell en un sistema abreviado utilizando una notación vectorial. La formulación original de Maxwell databa de 1865 y contenía 20 ecuaciones de 20 variables. En 1873 Maxwell intento una formulación simplificada que finalmente no resultó popular. La formulación vectorial resultaba especialmente atractiva porque remarcaba las simetrías intrínsecas en las ecuaciones haciendo más fácil su utilización e inspirando aplicaciones posteriores.

Expresión integrodiferencial en el vacío

Expresándolas en el vacío estas leyes tiene la forma:

, (ley de Gauss para electricidad)
, (ley de Gauss para magnetismo)
, (ley de inducción de Faraday)
, (ley de Ampère)
donde es el campo eléctrico, es el campo magnético, es la corriente de carga que, en parte, genera el campo magnético, es la carga estática que genera el campo eléctrico, es la constante dieléctrica del vacío y es la permeabilidad magnética del vacío.
es un volumen cualquiera dentro del cual está la carga , es la superficie cerrada que rodea el volumen , es una superficie no cerrada y es la curva cerrada que delimita la superficie .
A estas ecuaciones integrales hay que añadir la ley de continuidad
:
Esta ley indica que si una carga no puntual pierde cantidades menores de carga lo hace en forma de corriente.
Maxwell reescribió estas ecuaciones integrales en forma diferencial haciéndolas compatibles. De este modo apareció la llamada corriente de desplazamiento definida como

Expresión vectorial en el vacío

Las ecuaciones de Maxwell, en el Sistema Internacional para el vacío son:

  • Ley de Gauss:
  • Ley de Gauss para el campo magnético:
  • Ley de Faraday:
  • Ley de Ampère-Maxwell:

donde y corresponden a la carga y densidad de corriente totales.

Expresión vectorial en medios materiales

En medios materiales se definen los campos (vector desplazamiento eléctrico) y (campo magnético) gracias a los cuales las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse de manera independiente al medio en el que estén inmersos los campos. Por definición

De este modo las ecuaciones de Maxwell quedan así:

  • Ley de Gauss:
  • Ley de Gauss para el campo magnético:
  • Ley de Faraday:
  • Ley de Ampère-Maxwell:

donde ahora y corresponden a la carga y densidad de corriente libres. Esta versión de las ecuaciones es equivalente a la del vacío, pero para ser completas, deben ser suplementadas con relaciones constitutivas, propias de cada medio material:

Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS

A veces se utilizan en otro sistema de unidades (Gaussianas o CGS), más apropiado cuando se quiere trabajar en física microscópica:

Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad General

Referencias

Bibliografía

  • El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Wikipedia, publicada con licencia CC-BY-SA 3.0.

Notas