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Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

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Sea la ecuacion diferencial ordinaria de orden n, que típicamente es de la forma: 

            y=f(x,y,y',...,y^{(n)}), \quad con \quad n \ne 0\,\!

en que f\,\! es una función de n+2 variables definida en una región S \in \mathbf R^2\,\!

Ahora, considérese el caso en que n = 1. Luego, se tiene la ecuación diferencial de primer orden, del tipo: 

               f(x,y,y')=0\,\!

que se puede expresar explicitamente como sigue: 

               y'=h(x,y)\,\!

Luego, el problema de hallar en un intervalo I \subseteq \mathbf R una función diferenciable \phi : I\longrightarrow R,tal que \forall x \in \mathbf I, se cumpla:

1.-(x,\phi(x)) \in \mathbf I

2.-\phi'(x)=f(x,\phi(x))\,\!

es llamado ecuación diferencial ordinaria de orden I, el cual se denota por: 

            (*) y' = f(x,y)

Luego, si tal función \phi\,\! existe, y se verifican las condiciones 1 y 2 en I, entonces \phi\,\! es llamada una solución de (*)

[escribe] Problemas de Valor o Condición Inicial (PVI)

Se llama problema de condicion inicial, el encontrar una solucion de la EDO: y=f(x,y,y',...,y^{(n)})=0\,\! en un intervalo I, que satisfaga para x_0\,\! \in \mathbf I, la siguiente condicion: 

      y(x_0)=y_0 \quad,\quad y'(x_0)=y_1\quad ,\quad y''(x_0)=y_2\quad,\quad \ldots \quad, \quad y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}

donde y_0,y_1,y_2,...,y_n \,\! son constantes arbitrarias.


[escribe] Teorema de Existencia y Unicicdad

Considérese la ecuación diferencial y'=f(x,y)\,\! , donde la función f\,\! está definida en un rectángulo o región R del plano XY, que contiene al punto (x_0,y_0)\,\!. Luego, si la función f(x,y)\,\! satisface que:

Entonces, existe una y solamente una solución y=f(x)\,\! de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial y(x_0)=y_0\,\!

[escribe] Metodo de Resolución de algunos tipos de EDO's comunes

Una ecuación diferencial de la forma 

                \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\,\!

se conoce como ecuacion diferencial de variables separables. Para encontrar una solución, se considera \frac{dy}{dx} \,\! como un cuociente de diferenciales, que se puede reescribir como: 

                \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\,\!

que es una expresión integrable, de modo que: 

                \int \frac{dy}{g(y)} =\int f(x)dx+ C\,\!

donde C es una constante de integración, es la solución buscada.


Por ejemplo, considerese la siguiente ecuación: 

               3e^x \tan(y)dx + (2-e^x)\sec(y)dy =0 \,\!

si se multiplica por el factor \frac{1}{\tan(y)(2-e^x)}\,\! resulta: 

                \frac{3e^x}{2-e^x}dx + \frac{\sec^2(y)}{\tan(y)}dy=0\,\!


luego, integrando la expresión anterior, queda: 

                \int \frac{3e^x}{2-e^x}dx + \int \frac{\sec^2(y)}{\tan(y)}dy = C \,\!


de donde resulta: 

               -3\ln|2-e^x| + \ln|\tan(y)|=\ln|C|\,\!

o bien 

                \ln \left| \frac{\tan(y)}{(2-e^x)^3}\right|=\ln|C|\,\!

que es la solución general de la ecuación propuesta.


Previo: Funciones Homogéneas

Una funcion f(x,y) \,\!se dice homogenea de grado n, si y solamente si 

                f(\lambda x,\lambda y) =\lambda ^n f(x,y)\,\!

Luego, se llama ecuacion diferencial homogenea a la forma 

                 M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 \,\!

donde M(x,y) \and N(x,y) \,\! son funciones homogéneas de grado n.

Para solucionarlas, se propone la sustitución y= vx\,\! que transforma estas ecuaciones en expresiones que se solucionan por el metodo de variables separables.


Por ejemplo, solucionar la ecuacion siguiente: 

                  x \frac{dy}{dx}= y-x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)\,\!


puede ser reescrita como 

                 (x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)-y)dx+ xdy=0\,\!


luego, sea 

        M(x,y)=x\cos^2\left(\frac{y}{x}\right)-y \quad \and \quad  N(x,y)=x \qquad \mbox{ las cuales son homogéneas de grado 1} \,\!

En efecto, ya que: 

       M(\lambda x,\lambda y)=\lambda^1 (x\cos^2\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right))\,\!
       N(\lambda x,\lambda y)=\lambda^1 (x)\,\!


Usando el cambio y= vx \Longrightarrow dy=vdx+xdv\,\!


reemplazando, queda: 

         (x\cos^2(v)-xv)dx + x(vdx+xdv)=0\,\! \qquad / \cdot \frac{1}{x}

     \Rightarrow (\cos^2(v)-v)dx + vdx+xdv=0\,\!

     \Rightarrow \cos^2(v)dx+xdv=0\,\!

     \Rightarrow \frac{dx}{x} + \sec^{2}(v)dv=0\,\!

que es una ec. dif. de variables separables,y se obtiene: 

      \ln|x| +\tan(v)=\ln|C| \quad \mbox {pero como}\quad y=vx \,\!

      \Rightarrow \ln\left|\frac{x}{c}\right|=-\tan(\frac{y}{x})\,\!

Así: 

      \frac{x}{c}=e^{-\tan\frac{y}{x}} \,\!

finalmente, la solucion general de la ecuación propuesta es 

      x=ce^{-\tan\frac{y}{x}} \,\!

donde C es una constante real. 

Diferenciales Totales y exactitud

Si z=f(x,y)\,\!, la diferencia total de f es , a saber: 

   d(f(x,y))=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} dy \,\!


Por ejemplo: sea f(x,y)=3x^2y+5y^3x \,\! , entonces su diferencial total es: 

   d(f(x,y))=(6xy+5y^3)dx + (3x^2+15y^2x)dy\,\!

Luego, la forma diferencial 

    M(x,y)dx + N(x,y)dy \,\!

se dice exacta si existe una función F(x,y)\,\! , tal que 

    dF = M(x,y)dx + N(x,y)dy \,\!

Notese que dF= \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y}\,\!

luego, 

    M dx + N dy \,\!

se dice exacta si y solamente si (condicion necesaria y suficiente) 

     1) \frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\,\!

     2) \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\,\!

Ec. Diferencial Exacta

Una ecuacion del tipo 

                      dF=0 \Rightarrow M(x,y)dx + N(x,y)dy=0\,\!

se dice ecuación diferencial exacta, si M(x,y)dx+N(x,y)dy\,\! es una forma diferencial exacta.

Por ejemplo: 

                      ydx+xdy = 0\,\!

es una ecuación diferencial exacta, ya que ydx+xdy \,\! es la diferencial exacta de la funcion f(x,y)=xy\,\!

En efecto, si se considera f(x,y)=xy\,\!

obteniendo la diferencial total: 

                       df= ydx+xdy\,\!

Teorema

Sean M(x,y) , N(x,y)\,\! con derivadas parciales contínuas en un rectángulo R de \mathbb R^2\,\! , exactas, 

                       M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\,\!

es una ecuación diferencial exacta si 

                       \frac{\partial N}{\partial x} = \frac {\partial M}{\partial y}\,\!

Luego, aceptando el teorema anterior, podemos resolver una ecuacióm diferencial exacta, si seguimos el siguiente algoritmo, que será explicado con un ejemplo directamente:


Considerar 

              (4x^2+y+7)dx + (2x+3)dy=0 \,\! 

            \Rightarrow \frac {\partial f}{\partial x}=4x^2+2y+7  \,\!

por lo que para obtener la funciòn f(x,y)\,\! se integra respecto a x 

              f(x,y)= \frac{4}{3}x^3 + 2xy + 7x + c(y) \,\!

pero en esta integración aparece una constante que depende de la variable "y" , asi que se deriva la funcion parcialmente respecto a y, quedando: 

             \frac{\partial f}{\partial y}=2x + c'(y)\,\!

pero, nótese que \frac{\partial f}{\partial y}= N(x,y)\,\! , por lo que lo que resultó de la derivacion se iguala a la funcion N(x,y)\,\! 

              2x+3 = 2x + c'(y)  \,\!
           \Rightarrow   c'(y)=3 \,\!,

por lo que se integra respecto a y para obtener la función de una variable c(y)\,\! 

              c(y)=3y + c_1\,\!

por ende, la funcion buscada corresponde a: 

            f(x,y)=\frac{4}{3}x^3 + 2xy +7x +3y + c_1\,\!

donde c_1 \in \mathbf R \,\!

también esta solución puede ser expresada como: 

            \frac{4}{3}x^3 + 2xy +7x +3y = c_1\,\!

que corresponde a la forma implicita de f(x,y) \,\!

Obs:

No importa si se comienza a resolver la ecuacion con \frac{\partial f}{\partial x}\,\! , como se hizo en este caso, ó por \frac{\partial f}{\partial y}\,\!

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