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Ecuación de segundo grado

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma reducida:

ax^2 + bx + c = 0 \ ,

donde a, b y c (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.


[escribe] I El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En un cuerpo es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la conmutatividad implica las siguientes identidades:

 (a - b)( a + b) = a^2 - b^2 \ 
 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \ 

Para resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0, es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:


\begin{matrix}
ax^2 + bx + c & = & a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
              &   & \\
              & = & a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right) \ \ \ \ \\
              &   & \\
              & = & a\left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] 
\qquad \ (1)
\end{matrix}

Sean Δ = b2 − 4ac y d2 = Δ. Entonces:


\begin{matrix}
(1) & = & a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \right] \quad \\
    &   & \\
    & = & a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{d^2}{4a^2} \right] \quad \\
    &   & \\
    & = & a \left( x + \frac{b-d}{2a} \right)\left( x + \frac{b+d}{2a} \right)
\end{matrix}

Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El número d es una de las dos raíces del discriminante Δ = b2 − 4ac. Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:

 x_1 = \frac {-b-d} {2a}\ , \quad  x_2 = \frac {-b+d} {2a}

La igualdad: ax^2 + bx + c = a (x - x_0)(x - x_1) \  da, al desarollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:

 x_0 + x_1  = \frac {-b} {a}\ , \quad  x_0 \cdot x_1 = \frac {c} {a}

Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:

X2 - SX + P = 0 (S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1)

[escribe] II El caso real

Si a,b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante Δ = b2 − 4ac:

  • Si Δ ≥ 0, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:
x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}
  • Si Δ < 0, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de - Δ, multiplicado por i (que verifica i2 = -1), pues:
 d^2 = (i \sqrt{-\Delta})^2 = i^2 (-\Delta) = - (-\Delta) = \Delta

y las soluciones son:

x = \frac {-b \pm i \sqrt{4ac-b^2}} {2a}

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax2 + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

imagen:segundo_grado_curvas.png

[escribe] III Interpretación geométrica

Siglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas).

El caso más común es: x2 + bx = c, con b y c positivos.

x2 es obviamente el área de un cuadrado de lado x, y bx la de un rectángulo de lados b y x.

imagen:segundo_grado_figura1.png

Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con el propósito de construir un cuadrado mayor.


          imagen:segundo_grado_figura2.pngluego se añade un pequeño cuadro
de lado b/2 para completar el cuadro
imagen:segundo_grado_figura3.png

Para conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c.

El área del cuadrado es c +  \frac {b^2} 4 , por lo tanto su lado mide la raíz cuadrada de esta cantidad.
Restándole b \over 2 , obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).

Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambas positivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo + .


Autor: M.Romero Schmidtke

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