Ecuación de segundo grado

Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.

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Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma reducida:

$ax^2 + bx + c = 0 \$ ,

donde a, b y c (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

[escribe] I El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En un cuerpo es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la conmutatividad implica las siguientes identidades:

Para resolver la ecuación $a x 2 + b x + c = 0$ , es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:

$\begin{matrix} ax^2 + bx + c & = & a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ & & \\ & = & a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right) \ \ \ \ \\ & & \\ & = & a\left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] \qquad \ (1) \end{matrix}$

Sean $Δ = b 2 - 4 a c$ y $d 2 = Δ$ . Entonces:

$\begin{matrix} (1) & = & a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \right] \quad \\ & & \\ & = & a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{d^2}{4a^2} \right] \quad \\ & & \\ & = & a \left( x + \frac{b-d}{2a} \right)\left( x + \frac{b+d}{2a} \right) \end{matrix}$

Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El número d es una de las dos raíces del discriminante $Δ = b 2 - 4 a c$ . Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:

$x_1 = \frac {-b-d} {2a}\ , \quad x_2 = \frac {-b+d} {2a}$

La igualdad: $ax^2 + bx + c = a (x - x_0)(x - x_1) \$ da, al desarollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:

$x_0 + x_1 = \frac {-b} {a}\ , \quad x_0 \cdot x_1 = \frac {c} {a}$

Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:

X² - SX + P = 0 (S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1)

[escribe] II El caso real

Si a,b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante $Δ = b 2 - 4 a c$ :

Si Δ ≥ 0, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:

$x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

Si Δ < 0, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de - Δ, multiplicado por i (que verifica i² = -1), pues:

$d^2 = (i \sqrt{-\Delta})^2 = i^2 (-\Delta) = - (-\Delta) = \Delta$

y las soluciones son:

$x = \frac {-b \pm i \sqrt{4ac-b^2}} {2a}$

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax² + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

[escribe] III Interpretación geométrica

Siglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas).

El caso más común es: x² + bx = c, con b y c positivos.

x² es obviamente el área de un cuadrado de lado x, y bx la de un rectángulo de lados b y x.