Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma reducida:

$ax^2 + bx + c = 0 \$,

donde a, b y c (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.

En un cuerpo es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la conmutatividad implica las siguientes identidades: $(a - b)( a + b) = a^2 - b^2 \$   y   $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \$

Para resolver la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$, es preciso factorizarla en dos binomios de primer grado:

$ax^2 + bx + c = a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right) = a\left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] \qquad \ (1)$

Sean $\Delta = b^2 - 4ac$ y $\delta^2 = \Delta$. Entonces:

$(1) = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} \right] = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{\delta^2}{4a^2} \right] = a \left( x + \frac{b-\delta}{2a} \right)\left( x + \frac{b+\delta}{2a} \right)$

Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso, luego se introduce un término que completa los dos primeros en un cuadrado, que aparece en (1). El número δ es una de las dos raíces del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$. Se utiliza la primera identidad anunciada, y se obtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo si y sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo que da las soluciones:  $x_1 = \frac {-b-\delta} {2a}\ , \quad x_2 = \frac {-b+\delta} {2a}$

La igualdad:   $ax^2 + bx + c = a (x - x_0)(x - x_1) \$ da, al desarollar el segundo miembro e identificar los coeficientes:   $x_0 + x_1 = \frac {-b} {a}\ , \quad x_0 \cdot x_1 = \frac {c} {a}$

Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números, podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estos números:

X² - SX + P = 0 (S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1)

El caso real

Si a, b  y  c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$:

• Si Δ ≥ 0, entonces para δ se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:   $x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

• Si Δ < 0, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para δ se puede tomar la raíz cuadrada de - Δ, multiplicado por i (que verifica i² = -1), pues:

$\delta^2 = (i \sqrt{-\Delta})^2 = i^2 (-\Delta) = - (-\Delta) = \Delta$

y las soluciones son:   $x = \frac {-b \pm i \sqrt{4ac-b^2}} {2a}$

Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax² + bx + c se posiciona así con relación a los ejes:

El caso complejo

Métodos

En este párrafo a, b  y  c son números complejos, a distinto de cero. La dificultad es hallar un número δ tal que δ² = Δ con Δ el discriminante de la ecuación (cuando $\Delta \ne 0$ existen dos raíces para δ, un valor y su opuesto). Un método es escribir Δ so forma trigonométrica o exponencial $\Delta = r (cos \, \theta + i sen \, \theta ) = r e^{i \theta }$ luego tomar $\delta = \sqrt{r} (cos \, \frac {\theta} 2 + i sen \, \frac {\theta} 2 ) = \sqrt{r} e^{i \frac {\theta} 2 }$. El problema es que θ rara vez tiene un valor exacto conocido, a menudo sólo se puede obtener un valor aproximativo (usualmente con diez decimales) mediante una calculadora; luego el valor de δ no será exacto.

El segundo método, más satisfactorio permite hallar δ utilizando la forma agebraica de Δ:

Si Δ = X + Yi, y se busca δ = x + yi  entonces: δ² = (x + yi)² = x² - y² + 2xyi    |δ²| = |Δ| (igualdad de los módulos) lo que da el sistema siguiente (igualando las partes reales, las partes imaginarias y los módulos):

$\left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=& X & (1) \\ 2xy &=& Y & (2) \\ x^2 + y^2 &=& \sqrt{X^2+Y^2} & (3) \end{matrix} \right.$

Las ecuaciones (1) y (3) permiten calcular los valores absolutos de x  e  y, mientras que la ecuación (2) permite escoger sus signos (hay dos posibilidades).

Ejemplo

Consideremos la ecuación $z^2 + (-1+2i) z + 9 + 19 i = 0 \,$.

Su discriminante es $\Delta = (-1 + 2i)^2 - 4 (9 +19 i) = - 39 - 80 i \,$

δ = x + yi solución de δ² = Δ verifica: $\left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=& -39 & (1) \\ 2xy &=& -80 & (2) \\ x^2 + y^2 &=& \sqrt{39² + 80²} = 89 & (3) \end{matrix} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \frac {(1) + (3)} 2 \quad x^2 = 25 \\ \frac {(3) - (1)} 2 \quad y^2 = 64 \\ (2)\quad xy < 0 \end{matrix} \right. \Longleftrightarrow \delta = x + yi = \pm \left ( 5 - 8i \right )$

Escogiendo δ = 5 - 8i se obtienen las raíces $z_1 = \frac {1 - 2i + (5 - 8i) } 2 = 3 - 5 i\quad \mbox { y } \quad z_2 = \frac {1 - 2i - (5 - 8i) } 2 = -2 + 3 i$

Interpretación geométrica

Siglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas).

El caso más común es: x² + bx = c, con b y c positivos.

x² es obviamente el área de un cuadrado de lado x, y bx la de un rectángulo de lados b y x.

Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con el propósito de construir un cuadrado mayor.

		luego se añade un pequeño cuadro de lado $\frac b 2$ para completar el cuadro

Para conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c. El área del cuadrado es $c + \frac {b^2} 4$, por lo tanto su lado mide la raíz cuadrada de esta cantidad. Restándole $b \over 2$, obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).

Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambas positivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo + .

Referencias

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Bibliografía
Autor: M.Romero Schmidtke

Notas