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Ecuación de Clairaut

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Una ecuación de Clairaut (llamada así por Alexis-Claude Clairaut) es una ecuación diferencial de la forma

y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right).

Para resolverla, se debe diferenciar con respecto a x, lo que da:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2},

por lo que

0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}.

Por consiguiente, o bien

0=\frac{d^2 y}{dx^2}

o en cambio

0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right).

En el primer caso, C = dy/dx para alguna constante C. Substituyendo en la ecuación de Clairaut se obtiene la familia de funciones dada por:

y(x)=Cx+f(C),\,

llamada la solución general de la ecuación de Clairaut .

En el segundo caso,

0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right),

define la solución singular y(x) cuya gráfica es la envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se suele representar paramétricamente, como (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Fuentes