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Divisibilidad
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
[escribe] Definición
Es la parte de la aritmética que estudia las propiedades, generales y particulares, de inclusión de unos números en otros.
Se dice que un número A está incluido en otro B, cuando A+A+A...etc T veces=B, es decir si AxT=B.
Un número B incluye a otro A cuando B/A da un número exacto T. Puesto de otra forma sería B-A-A-A...etc T veces=0
Ejemplo: 2 esta contenido en 10 ya que 2+2+2+2+2=2x5=10 y 10 contiene a 2 ya que 10/2=5 o bien 10-2=8, 8-2=6, 6-2=4, 4-2=2, 2-2=0.
Un número que está contenido en otro se le llama divisor y el número que contiene divisores se llama múltiplo.
Podemos inferir la siguiente propiedad: Un número A es divisor de otro B cuando A está contenido exactamente en B y B es múltiplo de A si contiene a A.
[escribe] Clasificación de la divisibilidad
La divisibilidad se clasifica en general y particular.
La divisibilidad general estudia los criterios genéricos de divisibilidad de los números. Es la parte que desarrollaremos aquí.
La divisibilidad particular estudia los criterios de divisibilidad particular de algún número. Ejemplo criterios de divisibilidad del número 2, del 3, 4, 11 ...etc.
[escribe] Forma de generar múltiplos
Como cualquier número de la serie natural A se puede sumar sucesivamente infinitas veces, se obtendran infinitos múltiplos de A.
Así los múltiplos de A son: (0), (A), (A+A), (A+A+A), (A+A+A+A)....etc hasta el infinito y puesto en forma multiplicativa sería Ax0=0, Ax1=A, Ax2=2A, Ax3=3A, Ax4=4A...etc hasta el infinito.
[escribe] Forma de generar divisores
Para generar divisores es necesario generar antes multiplos. Una vez se han generado múltiplos los números que crearón a estos son sus divisores.
Tambíen serán divisores de un múltiplo los divisores de los divisores y el número de veces que se repite un divisor dentro de un múltiplo.
Ejemplos:
2+2+2=2x3=6 el 2 es divisor de 6 y el 3 también ya que 3+3=2x3=6
4+4+4=12 entonces 4 y 3 son divisores de 12 y también lo será 2 ya que este divide a 4.
En la serie de números naturales hay números que no tienen divisores a los cuales se les llaman números primos.
El número primo solo lo divide la unidad y el mismo; los demas números se les llaman compuestos.
Número compuesto es aquel que no es primo y tiene más divisores que el mismo y la unidad.
[escribe] Propiedades básicas de divisibilidad
1-Todo número es múltiplo de otro cuando este es divisor y será divisor si aquel es múltiplo.
DEMOSTRACIÓN: Sea A un número natural, si lo multiplicamos por cualquier número natural B, tendremos un total T y T será múltiplo de A porque este lo ha generado; siendo A divisor de T por estar contenido B veces en T.
2-La serie de múltiplos de un número es infinita.
DEMOSTRACIÓN: Como un múltiplo de A se genera multiplicandolo por cualquier otro de la serie natural y como esta es infinita, la serie de múltiplos de A será infinita.
3-La cantidad de divisores de un número compuesto son finitos.
DEMOSTRACIÓN: Si A es un número compuesto y como A es finito en unidades los divisores también lo serán.
4-Todo número tiene al número cero como múltiplo.
DEMOSTRACIÓN: Es evidente ya que cualquier número A multiplicado por cero da cero.
5-Todo número es múltiplo de si mismo.
DEMOSTRACIÓN: Es evidente ya que todo número A multiplicado por 1 dará A.
6-Todo número es divisible por la unidad.
DEMOSTRACIÓN. Es evidente ya que todo número natural es un conjunto de unidades.
7-Todo número es divisible por si mismo.
DEMOSTRACIÓN: Es evidente ya que todo número A tiene las mismas unidades que A y A=Ax1.
[escribe] Propiedades de divisibilidad de la suma
Como una suma múltiple se puede sintetizar en una suma de dos sumandos, utilizando la propiedad asociativa de la suma, aquí estudiaremos solo la divisibilidad de sumas de dos sumandos.
1-Si un número divide a dos sumandos divide a su suma.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que divide exactamente a A y B de la forma siguiente: A/D=M y B/D=N donde resultará que A=DxM y B=DxN y si la suma de A+B=T, tendremos que A+B=(DxM)+(DxN)=Dx(M+N)=T donde se ve que T es el resultado de multiplicar D por (M+N) siendo D divisor de T y por tal motivo T múltiplo de D.
Ejemplo: Sea el divisor 3 y 15+60=75, donde 15=3x5 y 60=3x20 luego 15+60=(3x5)+(3x20)=3x(5+20)=3x25=75 y se ve que 3 está 25 veces en 75, siendo 75 múltiplo de 3 y 3 divisor de 75.
2-Si un número divide a un sumando y no al otro, el total no es divisible por dicho número.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que divide exactamente a A y no a B de la forma siguiente: A/D=M y B/D=N y resto (R), donde resultará que A=DxM y B=(DxN)+R y si la suma de A+B=T, tendremos que A+B=(DxM)+(DxN)+R=(Dx(M+N))+R=T donde se ve que T no contiene exactamente a D y no será múltiplo de D y D no dividirá a T.
Ejemplo: Sea el divisor 3 y 15+62=77, donde 15=3x5 y 62=(3x20)+2 luego 15+62=(3x5)+(3x20)+2=3x(5+20)+2=(3x25)+2=77 y se ve que 3 no está contenido en 77 porque hay un resto de 2.
3-Si un número no divide a ningún sumando, solo dividirá al total, si la suma de los resto es múltiplo del divisor.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que no divide A ni B de la forma siguiente: A/D=M y resto (R) y B/D=N y resto (R’), donde resultará que A=(DxM)+R y B=(DxN)+R’ y si la suma de A+B=T, tendremos que A+B=((DxM)+R)+((DxN)+R’)=(Dx(M+N))+(R+R’)=T donde se ve que T dividirá (Dx(M+N)) y para dividir a T tendrá que dividir (R+R’) según el punto 1 de este tema.
Ejemplos:
Sea el divisor 3 y 17+62=79, donde 17=(3x5)+2 y 62=(3x20)+2 luego 17+62=(3x5)+2+(3x20)+2=3x(5+20)+2+2=(3x25)+4=79 y se ve que 3 no está contenido en 77 porque hay un resto de 4 que no es múltiplo de 3.
Sea el divisor 3 y 16+62=78, donde 16=(3x5)+1 y 62=(3x20)+2 luego 16+62=(3x5)+1+(3x20)+2=3x(5+20)+1+2=(3x25)+3=75+3=78 y se ve que 3 divide a 75 y a 3 y según el apartado 1 dividirá al total 78.
[escribe] Propiedades de divisibilidad de la resta
1-Si un número divide a los dos términos de una resta divide a su diferencia.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que divide exactamente a A y B de la forma siguiente: A/D=M y B/D=N donde resultará que A=DxM y B=DxN y si la resta de A-B=T, tendremos que A-B=(DxM)-(DxN)=Dx(M-N)=T donde se ve que T es el resultado de multiplicar D por (M-N) siendo D divisor de T y por tal motivo T múltiplo de D.
Ejemplo: Sea el divisor 5 y 60-45=15, donde 60=5x12 y 45=5x9 luego 60-45=(5x12)-(5x9)=5x(12-9)=5x3=15 y se ve que 5 está 3 veces en 15, siendo 15 múltiplo de 3.
2-Si un número divide a un término de la resta y no al otro no dividirá su diferencia.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que divide exactamente a A y no a B de la forma siguiente: A/D=M y B/D=N y resto (R), donde resultará que A=DxM y B=(DxN)+R y si la resta A-B=T, donde tendremos la siguiente igualdad A-B=(DxM)-((DxN)+R)=(Dx(M-N))-R=T donde se ve que T no contiene exactamente a D ya que tiene un resto sustractivo y por tal motivo T no es divisible por D.
Ejemplo: Sea el divisor 5 y 62-45=17, donde 62=(5x12)+2 y 45=5x9 luego 62-45=(5x12)+2-(5x9)=5x(12-9)+2=(5x3)+2=17 y se ve que 5 no está contenido en 17 por haber un resto 2.
3-Si un número no divide a ningún término de una resta, solo dividirá a su diferencia si la resta de los restos es cero.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que no divide A ni B de la forma siguiente: A/D=M y resto (R) y B/D=N y resto (R’), donde resultará que A=(DxM)+R y B=(DxN)+R’ y si la resta de A-B=T, tendremos la siguiente igualdad que A-B=((DxM)+R)-((DxN)+R’)=(Dx(M-N))+(R-R’)=T donde se ve que T dividirá (Dx(M-N)) y para dividir a T tendrá que dividir (R-R’) según el punto 1 de este tema y como R y R’ son menores que D el resultado tendrá que ser cero.
Ejemplo: Sea el divisor 5 y 62-44=18, donde 62=(5x12)+2 y 44=(5x8)+4 luego 62-44=((5x12)+2)-((5x8)+4)=5x(12-9)+2-4=(5x4)-2=18 y se ve que (5x4) es divisible por 5 y al no ser (2-4) igual a 0 el total 18 no es divisible por 5.
Ejemplo: Sea el divisor 5 y 62-47=15, donde 62=(5x12)+2 y 47=(5x9)+2 luego 62-47=((5x12)+2)-((5x9)+2)=5x(12-9)+(2-2)=(5x3)+0=15 y se ve que 5 está contenido en 15 ya que (5x3) es divisible por 5 y la diferencia de los restos es cero.
[escribe] Propiedades de divisibilidad de la multiplicación
Como una multiplicación múltiple se puede sintetizar en una multiplicación de dos factores, según la propiedad asociativa de la multiplicación, aquí estudiaremos solo la divisibilidad de multiplicaciones de dos factores.
1-Si un número divide a dos factores de una multiplicación divide a su total.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que divide exactamente a A y B de la forma siguiente: A/D=M y B/D=N donde resultará que A=DxM y B=DxN y si la multiplicación de AxB=T, tendremos que AxB=A+A+A...etc B veces=(DxN)+(DxN)+(DxN)... etc B veces=Dx(BxN)=T donde se ve que T es el resultado de multiplicar D por (BxN), siendo D divisor de T y por tal motivo T múltiplo de D.
Ejemplo: Sea el divisor 5 y 15x10=150, donde 15=5x3 y 10=5x2 luego 15x10=(5x3)x10=5x(3x10)=5x30=150 y se ve que 5 está 30 veces en 150, siendo 150 múltiplo de 5.
2-Si un número divide a un factor de una multiplicación y no al otro, el total es divisible por dicho número.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D que divide exactamente a A y no a B de la forma siguiente: A/D=M y B/D=N y resto R, donde resultará que A=DxM y B=(DxN)+R y si la multiplicación de AxB=T, tendremos que AxB=A+A+A...etc B veces=(DxN)+(DxN)+(DxN)... etc B veces=Dx(BxN)=T donde se ve que T es el resultado de multiplicar D por (BxN) siendo D divisor de T y por tal motivo T múltiplo de D.
Debe observarse que en un producto de dos factores basta que un divisor divida a un factor para dividir al total.
Ejemplo: Sea el divisor 5 y 10x12=120, donde 10=5x2 y 12=(5x2)+2, luego 10x12=(5x2)x12=5x(2x12)=5x24=120 y se ve que 5 está 25 veces en 120, siendo 120 múltiplo de 5.
3-Si un número no divide a ningún factor de una multiplicación, solo dividirá al total si el producto de los restos es múltiplo del divisor.
DEMOSTRACIÓN:
Sean un divisor D que no divide A ni B de la forma siguiente: A/D=M y resto (R) y B/D=N y resto (R’), donde resultará que A=(DxM)+R y B=(DxN)+R’ y si la multiplicación de AxB=T, tendremos que AxB=((DxM)+R)x((DxN)+R’)=(DxDxMxN)+(DxMxR’)+(RxDxN)+(RxR’)=T donde se ve que T dividide a los tres primeros sumandos, por contener cada sumando a D una cantidad de veces, y para dividir a T tendrá que dividir (RxR’) según el punto 1 de la divisibilidad de la suma.
Ejemplos:
Sea el divisor 3 y 17x64=1088, donde 17=(3x5)+2 y 64=(3x20)+4 luego 17x64=((3x5)+2)x((3x20)+4)=(3x5x3x20)+(3x5x4)+(2x3x20)+(2x4)=900+60+120+8=1088 siendo 900, 60 y 120 divisibles por 3. El total 1088 será divisible, según propiedad de divisibilidad de la suma, si lo es 8, que es el producto de los restos, y como 8 no es multiplo de 3 el total 1088 no es divisible por 3.
Sea el divisor 3 y 18x63=1134, donde 18=(3x5)+3 y 63=(3x20)+3 luego 18x63=((3x5)+3)x((3x20)+3)=(3x5x3x20)+(3x5x3)+(3x3x20)+(3x3)=900+45+180+9=1134 siendo 900, 45 y 180 divisibles por 3. El total 1134 será divisible, según propiedad de divisibilidad de la suma, si lo es 9 y como 9 es múltiplo de 3 el número 1134 es divisible por 3.
[escribe] Propiedades de divisibilidad de la división exacta
Toda división exacta A/B=C se puede expresar en forma multiplicativa A=BxC.
De lo dicho en la línea anterior se deduce, que las reglas de divisibilidad de una división exacta, son las mismas que la de una multiplicación.
Luego si tenemos la división A/B=C, que en forma multiplicativa seria A=BxC, donde A es el dividendo, B el divisor y C el cociente; mirando las propiedades de divisibilidad de la multiplicación podemos enunciar:
1-Si un número divide al divisor y al cociente divide al dividendo.
2-Si un número divide al divisor o al cociente dividide al dividendo.
3-Si un número N no divide al divisor ni al cociente, dividirá al dividendo si el producto de los restos es múltiplo de N
Del punto 2 se saca la siguiente conclusión:
Los divisores de cualquier divisor de un número dividen a este
DEMOSTRACIÓN:
Sea la división A/B=C y un divisor N de B, donde se tendrá A=BxC y B=NxH, resultando que A=BxC=(NxH)xC=Nx(HxC)=A. Podemos ver que A es multiplo de N ya que lo contiene (HxC) veces y a su vez N divide a A.
[escribe] Propiedades de divisibilidad de la división inexacta
Toda división inexacta A/B=C y resto R se puede expresar en forma multiplicativa A=(BxC)+R, donde podemos ver que las reglas de divisibilidad de una división inexacta son las de la suma de dos sumandos que son (BxC) y R.
Observando las reglas de divisibilidad de la suma y la fórmula de la división inexacta podemos enunciar:
1-Si un número divide al divisor, cociente y resto divide al dividendo.
2-Si un número divide al divisor o al cociente y al resto divide al dividendo.
3-Si un número divide al divisor o al cociente, o ambos a la vez, y no al resto el dividendo no es divisible por dicho número.
4-Si un número N no divide ni al divisor, ni a cociente, ni al resto, el dividendo sera dividido por N, si el producto de los restos de dividir N por el divisor, cociente y resto es multiplo de N.
[escribe] Propiedades de divisibilidad de la potenciación
1-Si un número divide a la base de una potencia divide al total de esta.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D y una potencia BE = T, si B/D=C tendremos que B=(DxC); como BE = BxBxB...etc E veces=T y sustituyendo B por su equivalencia (DxC), se obtendrá la siguiente igualdad BE = (DxC)x(DxC)x(DxC)....E veces=(DE)x(CE) = Dx(DE − 1x(CE) = T donde se ve que D esta contenido una cantidad exacta de veces en T y por tal motivo T es divisible por D.
Ejemplo: 4/2=2 donde 4=2x2 y 43 = 4x4x4 = (2x2)x(2x2)x(2x2) = 2x(2x2x2x2x2) = 64, donde 64 contiene a 2 un total 32 veces.
2-Si un número N divide al total de una potencia con exponente E y no divide a su base B; la potencia con base el resto, de dividir la base B por N y exponente E, será multiplo de N.
DEMOSTRACIÓN:
Sea un divisor D y una potencia BE = T, si B/D=C y resto R, tendremos que B=(DxC)+R; como BE = BxBxB...etc E veces=T y sustituyendo B por su equivalencia (DxC)+R, se obtendrá la siguiente igualdad BE = ((DxC) + R)x((DxC) + R)...etc E veces=multiplo de Dx(RE) = T donde el primer sumando es divisible por D y para dividir a T tendrá que dividir RE según propiedad de divisibilidad de la suma.
[escribe] Propiedades de divisibilidad de la radicación
Al ser la radicación una operación inversa de la potenciación, podemos enunciar los mismos puntos 1 y 2 de la divisibilidad de la potenciación, puesta en forma de radicación, de la siguiente forma:
1-Si un número divide a la raiz de un radicando también divide a este.
Este enunciado es similar al caso 1 de la divisibilidad de la potenciación ya que ![\sqrt[E]{R}=C](/images/math/9/e/4/9e4865830e1e33b797dc9489873fca1f.png)
que puesto en forma exponencial será CE = R.
2-Si un número N divide al radicando de una radicación con indice radical E y no divide a su raiz B; la potencia con base el resto, de dividir la raiz B por N y indice radical E, será multiplo de N.
Este enunciado es identico al caso 2 de la divisibilidad de la potenciación.
[escribe] Criterios generales de divisibilidad
Los criterios generales de divisibilidad más importantes son:
1-Para que un número sea divisible por otro es necesario que descompuestos, tanto el dividendo como el divisor, en productos de factores primos, los factores primos del divisor esten en el dividendo.
DEMOSTRACIÓN:
Sean los factores primos de A=CxDxHxI y B=CxI si dividimos A/B=(CxDxHxI)/(CxI)=DxH.
Si en B existiera un factor primo diferente P de los que tiene A, este no seria divisible por B, al saber que los números primos solo son divisible por el mismo y la unidad y P no está contenido en (DxH) por ser primos también.
Ejemplo 210=2x3x5x7 y 15=3x5, luego 210/15=(2x3x5x7)/(3x5)=2x7=14
2-Un número será divisible por otro si transformados sus diversos ordenes en unidades y formamos una suma con ellos; si dividimos cada sumando por el divisor, la suma de los restos es multiplo del divisor.
Ejemplo: 3456=3000+400+50+6 si el divisor es 4 resultará:
(3000/4=750), (400/4=100), (50/4=12 y resto 2), (6/4=1 y resto 2) y como 2+2=4 y es multiplo del divisor 4, el número 3456 es divisible por 4.
Para ver criterios específicos de divisibilidad ver: Criterios particulares de divisibilidad.
[escribe] Referencias
Bibliografía
- Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada.
- Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas.
- González Aguilar, Jorge. Matemáticas.
Otras fuentes de información
Notas
