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División (matemáticas)

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La división es una operación aritmética inversa a la multiplicación

Resumen de la división

Operación matemática que consiste en averiguar cuantas veces un número (el divisor) esta contenido en otro número (el dividendo). En la división de números enteros además del dividendo y el divisor intervienen otros números. Así al resultado entero de la división se le denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no esta contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendra un resto, donde:

resto = dividendo - ( cociente × divisor )

Definiciones

La división es una operación aritmética que consiste en ver las veces que un número está contenido en otro.

La división se puede definir de diversas formas y algunas de ellas son:

1.-Es descomponer un número en grupos de tantas unidades como tiene otro.

2.-Es hayar las veces que un número está formando parte de otro más grande.

3.-Dividir un número A por otro B es buscar otro número C donde BxC=A y si no existiera de forma exacta se buscaría uno donde A=(BxC)+R donde R<B.

4.-Dividir es la operación opuesta de la multiplicación. Así dividir sería transformar el divisor en su número inverso.

Ejemplo: Sabemos que 12x6 es transformar cada unidad de 12 en 6, y dividir 12/6 es transformar cada 6 unidades de 12 en 1. Luego 12/6 es igual a 12x(1/6) y también dividir (1/2)/(3/4)=(1/2)x(4/3)


Términos

Los términos de la división son: El dividendo, divisor, cociente y resto.

El dividendo es el número en el que formamos grupos de unidades, iguales a otro número dado y las transformamos en un 1.

Divisor el es número que indica la cantidad de unidades, que se tienen que coger del dividendo, para transformarlas en 1.

Cociente es el número de veces que el divisor está dentro del dividendo

Resto es la cantidad de unidades, inferior al divisor, que sobran al hayar las veces que el divisor está en el dividendo.

La división A/B=C y resto (R) es igual A=(BxC)+R donde A=(B+B+B...C veces)+R resultando que A es el dividendo, B el divisor, C el cociente y R el resto.

El término resto solo se dará en divisiones inexactas.

Los cocientes en divisiones inexactas pueden ser: cociente aditivo o cociente sustractivo.

Los restos en divisiones inexactas pueden ser: resto aditivo o resto sustractivos

Al dividir A/B=C y resto (R) tendremos que A=(BxC)+R donde A-(BxC)=R, a este cociente se le llama sustractivo y al resto aditivo.

Si tenemos A/B=C y resto (R) tendremos que A=((Bx(C+1))-R=(BxC)+C-R donde A-((BxC)+C)=-R, a este cociente se le llama aditivo y al resto sustractivo.

Representación de la división

Para indicar que A se debe dividir por B se representa así: A/B=C ó A:B=C (división exacta) y de forma multiplicativa A=BxC.

Si la división es inexacta se indicará A/B=C y resto (R), A:B=C y resto (R) o de una forma multiplicativa A=(DxC)+R.

Representación descriptiva

Tenemos dos número 10=IIIIIIIIII y 2=II dividir seria transformar cada 2 unidades de 10 en 1, luego 10/2=(II)(II)(II)(II)(II) que si hacemos (II) un I contaremos que 10/2=IIIII=5.

Tenemos dos número 13=IIIIIIIIIIIII y 3=III dividir seria transformar cada 3 unidades de 13 en 1, luego 13/3=(III)(III)(III)(III)I y si hacemos (III) un I contaremos que 13/3=IIII=4 y 1 de resto.

Clases de divisiones

Las divisiones se pueden clasificar en exactas e inexactas.

División exacta es aquella en la que el divisor por el cociente da el dividendo, es decir, el divisor está contenido una cantidad exacta de veces en el dividendo.

División inexacta es aquella en que el producto del divisor por el cociente no llega a ser el dividendo y falta una cantidad (resto) inferior al divisor. En este caso el divisor no está contenido una cantidad exacta de veces y sobran unas unidades inferiores al divisor.

Propiedades de las divisiones

Propiedades generales

Propiedad de los restos

La suma del resto aditivo y sustractivo de una división inexacta es igual al divisor.

DEMOSTRACIÓN:

Sea la división A/B=C y resto (R).

Poniendo la división en forma multiplicativa y resto aditivo tendremos A=(BxC)+R.

Si ponemos la división en forma multiplicativa y resto sustractivo tendremos A=(Bx(C+1))-R’.

Si igualamos las igualdades anteriores tendremos que (BxC)+R=(Bx(C+1))-R’ donde haciendo transposición de términos se presentan las siguientes igualdades:

R+R’=(BxC)-(BxC)+B=0+B=B que es lo que deseabamos demostrar.

Luego R+R’=B (que es el divisor) de A/B.

Propiedad uniforme y monótona

La propiedad uniforme dice: Si en una igualdad dividimos ambos términos por un mismo número la igualdad permanece. Esta afirmación es evidente ya que lo hecho con dos números iguales da un resultado identico.

La propiedad mónotona dice: Si los dos miembros de la desigualdad lo dividimos por un número positivo la desigualdad permanece, pero si lo hacemos por un negativo la desigualdad cambia de sentido.

Al dividir cualquier entero por un número positivo el cociente sera del mismo signo que el dividendo y por tal motivo no cambiará el sentido de la desigualdad, pero si lo hacemos con un número negativo el cociente sera de distinto signo que el dividendo y por tal motivo si cambiará el sentido de la desigualdad.

Propiedades de divisiones exactas

Propiedad fundamental

El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente.

Si tenemos A/B=C en forma multiplicativa es A=BxC.

DEMOSTRACIÓN:

Sea A/B=C, tendremos que A=(B+B+B..etc..C veces) resultando que A=(BxC) que es lo enunciado.

Ejemplo: 10/2=5 que puesto en forma aditiva es 10=(2+2+2+2+2) y en forma multiplicativa 10=2x5.

Propiedad del dividendo

Si multiplicamos o dividimos el dividendo por un número, sin que varíe el divisor, el cociente queda multiplicado y dividido por dicho número.

Sea un número N y la división A/B=C en forma multiplicativa será A=BxC

Los casos que se nos pueden presentar son dos el de multiplicar el dividendo A por N y el de dividirlo sin que varíe el divisor B.

Si a la igualdad A=BxC multiplicamos ambos miembros por N queda AxN=BxCxN que mantiene la igualdad y como B no puede variar tendremos que AxN=Bx(CxN) según propiedad multiplicativa y es lo que deseabamos demostrar.

En el caso de dividir será más o menos igual, resultando que A/N=(BxC)/N que da A/N=Bx(C/N) según propiedad de la división de un producto por un número; dando lo que deseabamos demostrar.

Propiedad del divisor

Si multiplicamos o dividimos el divisor por un número, sin que varíe el dividendo, el cociente queda dividido o multiplicado por dicho número.

Sea un número N y la división A/B=C en forma multiplicativa será A=BxC

Los casos que se nos pueden presentar son dos el de multiplicar el divisor B por N y el de dividirlo sin que varíe el dividendo A.

Como a la igualdad A=BxC mo podemos variar el primer miembro que es A, los cambios los tendremos que hacer sobre el segundo miembro, de tal forma, que se siga manteniendo la igualdad.

Si multiplicamos B por N queda A<(BxN)xC que no mantiene la igualdad y para mentenerla tendriamos que dividir C por N que da A=(BxN)x(C/N) donde se ve que hemos multiplicado y dividido el segundo término de la igualdad A=BxC por N, pero uno multiplicando B y otro dividiendo C, cosa correcta según la propiedad multiplicativa y la de dividir un producto por un número.

De lo enunciado arriba se deduce que esta demostrado nuestras afirmaciones.

En el caso de dividir será más o menos igual, resultando que en igualdad A=BxC no podemos variar el primer miembro que es A, los cambios los tendremos que hacer sobre el segundo miembro, de tal forma, que se siga manteniendo la igualdad.

Si dividimos B por N queda A>(B/N)xC que no mantiene la igualdad y para mentenerla tendriamos que multiplicar C por N que da A=(B/N)x(CxN) donde se ve que hemos dividido y multiplicado el segundo término de la igualdad A=BxC por N, pero uno dividiendo B y otro multiplicando C, cosa correcta según la propiedad de dividir un producto por un número y la multiplicativa.

De lo enunciado arriba se deduce que esta demostrado nuestras afirmaciones.

Propiedad del cociente

Si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un número, el cociente no varía.

Sea un número N y la división A/B=C en forma multiplicativa será A=BxC

Los casos que se nos pueden presentar son dos el de multiplicar y dividir A y B por N.

Si a la igualdad A=BxC la multiplicamos por N tendremos AxN=(BxC)xN que es igual a AxN=(BxN)xC que es lo que deseabamos demostrar ya que C no varía.

Si a la igualdad A=BxC la dividimos por N tendremos A/N=(BxC)/N que es igual a A/N=(B/N)xC que es lo que deseabamos demostrar ya que C no varía.


Propiedades de las divisions inexactas

Propiedad fundamental

El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto.

Si tenemos A/B=C y resto (R) en forma multiplicativa es A=(BxC)+R.

DEMOSTRACIÓN:

Sea A=(BxC)+R, tendremos que A=(B+B+B..etc..C veces)+R resultando que A=(BxC)+R que es lo enunciado.

Ejemplo: 11/2=5 y resto (1) que puesto en forma aditiva es 11=(2+2+2+2+2)+1 y en forma multiplicativa 11=(2x5)+1.

Propiedad del dividendo en divisiones inexactas

Si multiplicamos o dividimos el dividendo, de una división inexacta, por un número, sin que varíe el divisor, el cociente y el resto quedan multiplicado y dividido por dicho número.

Sea un número N y la división A/B=C y resto (R) que en forma multiplicativa será A=(BxC)+R

Los casos que se nos pueden presentar son dos el de multiplicar el dividendo A por N y el de dividirlo, sin que varíe el divisor B.

Si a la igualdad A=(BxC)+R multiplicamos ambos miembros por N queda AxN=((BxC)xN)+(RxN) que mantiene la igualdad y como B no puede variar tendremos que AxN=(Bx(CxN))+(RxN) que es lo que deseabamos demostrar ya que C y R quedan multiplicados por N.

En el caso de dividir será más o menos igual, resultando que A/N=((BxC)/N)+(R/N) que da A/N=(Bx(C/N))+(R/N) que es lo que deseabamos demostrar ya que C y R quedan divididos por N.

Propiedad del divisor en divisiones inexactas

Si multiplicamos o dividimos el divisor, de una división inexacta, por un número, sin que varíe el dividendo, el cociente queda dividido o multiplicado por dicho número y el resto no varía.

Sea un número N y la división A/B=C y resto (R) que puesto en forma multiplicativa será A=(BxC)+R

Los casos que se nos pueden presentar son dos el de multiplicar el divisor B por N y el de dividirlo, sin que varíe el dividendo A.

Como a la igualdad A=(BxC)+R no podemos variar el primer miembro que es A, los cambios los tendremos que hacer sobre el segundo miembro, de tal forma, que se siga manteniendo la igualdad.

Si multiplicamos B por N queda A<((BxN)xC)+R que no mantiene la igualdad y para mentenerla tendriamos que dividir C por N que da A=((BxN)x(C/N))+R donde se ve que hemos multiplicado y dividido el producto (BxC) por N dando (BxN)x(C/N) y quedará A=((BxN)x(C/N))+R que es lo que deseabamos demostrar ya que B queda multiplicado y C dividido por N.

En el caso de dividir será más o menos igual, resultando que en igualdad A=(BxC)+R no podemos variar el primer miembro que es A, los cambios los tendremos que hacer sobre el segundo miembro, de tal forma, que se siga manteniendo la igualdad.

Si dividimos B por N queda A>((B/N)xC)+R que no mantiene la igualdad y para mentenerla tendriamos que dividir B por N y multiplicar C por N dando A=((B/N)x(CxN))+R que es lo que deseabamos demostrar ya que B es dividido y C multiplicado por N.

Propiedad del cociente en divisiones inexactas

Si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor, de una división inexacta, por un número el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Sea un número N y la división A/B=C de resto (R) que en forma multiplicativa será A=(BxC)+R.

Los casos que se nos pueden presentar son dos el de multiplicar o dividir A y B por N.

Si a la igualdad A=(BxC)+R la multiplicamos por N tendremos AxN=((BxC)xN)+(RxN) que es igual a AxN=((BxN)xC)+(RxN) que es lo que deseabamos demostrar ya que C no ha variado.

Si a la igualdad A=(BxC)+R la dividimos por N tendremos A/N=((BxC)/N)+(R/N) que es igual a A/N=((B/N)xC)+(R/N) que es lo que deseabamos demostrar ya que C no ha variado.

Propiedades operativas

Propiedad distributiva de la división

Si dividimos una suma de varios sumandos por un número es igual que dividir cada sumando por el número y despues sumar los resultados.

La demostración de estas afirmaciones es casi evidente ya que dividir un todo en N partes es lo mismo que dividir cada una de las partes del todo por N.

Ejemplo: (10+8+4)/2=(10/2)+(8/2)+(4/2)=5+4+2=11

Otra forma de demostrarlo sería: Como una división es multiplicar un número por el inverso del divisor, tendremos lo siguiente: Sea (A+B+C+D)/E que puesto en forma multiplicativa sería lugar a (A+B+C+D)x(1/E).

La expresión (A+B+C+D)x(1/E)=(Ax1/E)+(Bx1/E)+(Cx1/E)+(Dx1/2) que dará lo siguiente: (A/E)+(B/E)+(C/E)+(D/E) que es lo que deseabamos demostrar.

Propiedad de dividir una multiplicación por un número

La división de un producto por un número es igual a dividir cualquier factor del producto por el número y el resultado multiplicarlo por el resto de factores.

DEMOSTRACIÓN:

Sea un número N y un producto (AxBxCxD) y si efectuamos la operación resultará (AxBxCxD)/N=T y puesto en forma multiplicativa tendriamos (AxBxCxD)x(1/N)=T, que según la propiedad de multiplicar un número por un producto sería AxBxCxDx(1/N)=T en cualquier orden.

De lo enunciado arriba podemos decir que N puede dividir a cualquier factor, suponiendo que elegimos A resultará (A/N)xBxCxD=T, que es lo quem deseamos demostrar.

Ejemplo: (4x5x10)/2 es igual a (4/2)x5x10=4x5x(10/2)=100

Propiedad de dividir una multiplicación por otra

La división de dos productos es igual a dividir cada términos del dividendo por otro u otros del divisor y los resultados multiplicarlos entre si.

DEMOSTRACIÓN:

Sean los productos (AxBxC)/(DxF)=T y puesto en forma multiplicativa sería AxBxCx(1/D)x(1/F)=T, operación que la podemos hacer en cualquier orden, resultando (A/D)x(B/F)xC=T que es lo que deseabamos demostrar.

Propiedad de dividir una división por un número

Si dividimos una división por un número el resultado es igual a dividir el dividendo por el producto del divisor por el número dado.

Sea el número N y la división A/B donde (A/B)/N=T que puesto en forma multiplicativa sería (A/B)x(1/N)=(Ax1)/(BxN)=A/(BxN)=T según la propiedad de multiplicar dos cocientes. Con esto queda demostrada la afirmación inicial.


Propiedad de dividir dos divisiones

La división de dos divisiones el igual a dividir el producto del dividendo de la primera división por el divisor de la otra y su total dividirlo por el total del producto del divisor de la primera división por el dividendo de la segunda.

DEMOSTRACIÓN:

Sean las divisiones A/B y C/D que divididas dan (A/B)/(C/D)=T que puesto en forma multiplicativa sería (A/B)x(D/C)=(AxD)/(BxC) según la propiedad de multiplicar de dos divisiones. Pudiendo ver que nuestra afirmación está demostrada.



Propiedad de dividir dos potencias de una misma base

La división de dos potencias de una misma base es igual a otra potencia de la misma base, que tiene por expotente la resta de los exponentes de los términos de la división.

DEMOSTRACIÓN.

Sea la división donde tendremos: (AxAxA...etc N veces)/(AxAxA....etc M veces)=T y como A/A=1 tendremos que el resultado es el exceso de factores A del dividendo sobre el divisor que es igual a (N-M) dando la potencia .

Si los factores A del dividendo fueran menos que los del divisor por ser N<M entonces y resultando que N-M=-H el resultado sería que viene a ser igual a resultando .

Ejemplos: Sea 2=(5x5x5x5)/(5x5)=5x5=.

Sea =(5x5)/5x5x5x5=(5x5)/((5x5)x(5x5))=1/5x5=.

Propiedad de dividir dos raices de igual radicando

La división de dos raices del mismo radicando es igual a otra raiz del mismo radicando, con indice igual al cociente del producto de los indices dividido por la diferencia de ellos.

Tenemos las raices y que puestas en forma exponencial daría y .

Resultara que según la propiedad de dividir dos potencias de la misma base =T y sabiendo que (1/N)-(1/M)=(M-N)/(NxM) dando , según la propiedad de la potencia de una raiz.

Si suponemos que (NxM)=H y (N-M)=I, teniendo presente la propiedad de raices elevadas a una potencia resultará que

Ejemplo: que es

Propiedad del logaritmo de una división

El logaritmo de una división es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo menos el del divisor.

DEMOSTRACIÓN:

Supongamos que , donde .

Como y , estas igualdades puestas en forma exponencial resultarán y .

Sabemos que la división , según propiedad de la división de potencias de una misma base, deduciendo que .

Como , el logaritmo de (H/B) en base B es X-Y, pudiendo escribir la siguiente igualdad , que es lo que deseabamos demostrar.

Ejemplo: ya que y y como los indices exponenciales 4 y 2 son los logaritmos de 16 y 4 en base 2, el resultado del logaritmo de (16/4) en base 2, es la diferencia entre el logaritmo en base 2 de 16 menos el de 4.

Pruebas de dividir

Prueba conmutativa

Sabemos que dividendo menos el resto es igual al divisor por el cociente, según propiedad fundamental.

Para saber si una división está bien hecha, bastará con restar al dividendo el resto y ver si esa diferencia es igual al divisor por el cociente, sino fuera así, es que la división está mal.

Ejemplo 80/7=11 y resto 3, que puesto en forma multiplicativa sería 80=(7x11)+3 dando 80-3=77 que es igual que 7x11=77, luego la división está bien.

Prueba del 9

La prueba del 9 con la división sería igual que hacerla con una multiplicación, donde el total es el dividendo menos el resto y los factores son el divisor y el cociente.

Ejemplo: 80/7=11 y resto 3, luego haremos la prueba del 9 con el total 80-3=77 y los factores 7 y 11.

El total 77 y los factores 7 y 11 tienen de resto 5, 2 y 7 respectivamente, al ser divididos por 9; donde 7x2=14, que dividido por 9 da de resto 5, siendo igual al de 77 con 9.

Regla de dividir

El nivel de las series de números son: naturales, enteros, fraccionarios, racionales, irracionales y reales.

Regla de dividir números naturales

En el caso de dividir un número dígito por otro dígito se busca un número que multiplicado por el divisor de el dividendo o lo más aproximado posible.

Ejemplo: 5/2=2 y falta una unidad para ser 5 ya que 5=(2x2)+1.

8/2=4 ya que 8=4x2 y 12/6=2 al ser 12=6x2.

Si tenemos que dividir un número polidígito por un dígito tendremos que dividir cada orden del dividendo por el divisor como si se tratara una división de números dígitos, teniendo que tener presente los siguientes detalles:

1.-Si el orden inicial es menor que el divisor se cogen dos ordenes y se procede como el caso de dividir dos dígitos.

2.-Si al dividir un orden no es exacto, el resto se transforman en decenas y se suma al orden inmediato inferior y se procede como en el paso 1.

3.-Si diera la coincidencia de que al dividir un orden, el resto fuera cero y el orden inmediato inferior fuera menor que el divisor, se pondría un cero en el cociente y se tomarian dos ordenes consecutivos para dividir por el divisor, tal como hemos explicado en los pasos 1 y 2.

4.-Se continuara según los pasos precedentes hasta llegar al último orden.

Ejemplo 326/2=163 ya que 3=(2x1)+1, 10+2=12 donde 12=2x6 y 6=2x3

En el caso de tener que dividir dos polidígitos se procede como el caso de dividir un polidígito por un dígito, pero con la dificultad de tener que tomar tantos ordenes como tiene el divisor y si el grupo de ordenes elegido es inferior al divisor se coge uno más.

Ejemplo: 4567/22=207 y resto 13 y en forma multiplicativa sería 4567=(22x207)+13.

La forma de dividir sería 45=(22x2) y resto 1, 10+6=16 que es inferior a 22 y tomaremos 167 y como cifra del cociente un cero, luego dividimos 167 por 22 dará 167=(22x7)+13.

Las cifras del cociente son 2, 0 y 7 con un resto de 13.

Dividir dos números decimales

Se igualan a decimales el dividendo y el divisor, para despues ignorar los decimales, y proceden a dividir como si se tratara de números naturales.

Ejemplo: 456’45/3’345 sería lo mismo que dividir 456’450/3’345 y a su vez sería igual que dividir 456450/3345

Dividir números enteros

Se opera igual que los números naturales y se tiene presente las siguientes reglas del signo:

(+A)/(+B)=+(AxB) (-A)/(-B)=+(AxB) (+A)/(-B)=-(AxB) (-A)/(+B)=-(AxB)

Ver: Aritmética del signo operacional o numérico

Dividir números fraccionarios

Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor.

Dividir números racionales

Para dividir números racionales se transforman el dividendo y el divisor a la clase de número de mayor nivel y luego se procede a operar según ese nivel.

Dividir números irracionales

Se redondea los números al orden deseado y despues se opera como si se trataran números decimales.

Dividir números reales

Para dividir números reales se transforman el dividendo y el divisor a la clase de número de mayor nivel y luego se procede a operar según ese nivel. Si hubieran números irracionales se redondean al orden que a uno más le interese.


Referencias

Bibliografía

  • Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada. 
  • Marcos, C., y J. Martinez. Matemáticas. 
  • González Aguilar. Matemáticas. 

Otras fuentes de información

Notas