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Distribución uniforme discreta

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distribución uniforme discreta

parametros: $n \in \mathbb{N}^*$

notación : $X \sim U_n \,$

dominio: $X(\Omega) = [\![1,n]\!] = \{ 1; 2; ... ; n \}$

función de probabilidad: $P(X=k) = \frac 1 n ,\ \ k \in [\![1,n]\!]$

función de repartición: $P(X \leqslant k ) = \frac k n ,\ \ k \in [\![1,n]\!]$

esperanza: $E(X) = \frac {n+1} 2$

varianza: $V(X) = \frac {n^2 - 1} {12}$

mediana: $\frac {n+1} 2$ si n es impar

todo x en $\left ] \frac n 2 ; \frac n 2 + 1 \right [$ si n es par

moda: todo k en $[\![1,n]\!]$

asimetría: $\frac {\mu_3} {\sigma^3} = 0$

aplanamiento: $\frac {\mu_ 4} {\sigma^4} = \frac {9 \left ( n^2 + 1 \right ) } {5 \left ( n^2 - 1 \right )}, \ n > 1$

Distribución de probabilidad discreta en la que todos los casos posibles son equiprobables.

Si la variable aleatoria discreta X tiene como conjunto de valores posibles $X ( \Omega ) = \{ x_1; x_2; ... ; x_n \} \,$ (donde Ω es el universo del experimento aleatorio), entonces la probabilidad de los n eventos x_{_i} es $P(x_i) = \frac 1 n$ .

El valor esperado (esperanza o media) es $E(X) = m = \frac 1 n \sum_{k = 1}^n x_k$ y la varianza es $V(X) = \frac 1 n \sum_{k=1}^n (x_k - m)^2 = \frac 1 n \sum_{k=1}^n x_k^2 - m^2$

El caso más común es cuando $X ( \Omega ) = \{ 1; 2; ... ; n \} = [\![1,n]\!] = [1,n] \cap \mathbb{N} \,$ ; (ver cuadro a la derecha), otro caso frecuente es Y = X - 1: $Y (\Omega ) = \{ 0; 1; ... ; n \} = [\![0,n]\!] .$

Función de repartición de la distribución uniforme U₇

La función de repartición de U_n coincide, sobre el intervalo [0; n] con la función $x \mapsto \frac 1 n$ E(x), como se nota en el gráfico a la izquierda.

Cuando se echa un dado cúbico perfecto, la variable aleatoria que da el número de la cara es uniforme discreta de parámetro n = 6, pues todas sus caras tienen probabilidad de $\frac 1 6$ de ocurrir. Lo mismo sucede con los dados que son poliedros regulares: el tetraedro (n = 4), el octaedro (n = 8), el dodecaedro (n = 12) e icosaedro (n = 20). Si se lanza una moneda (bien equilibrada) y se atribuye el valor 1 a cara y 2 a cruz (por ejemplo) se obtiene una variable aleatoria uniforme de parámetro n = 2.
Las calculadoras de bolsillo tienen todas una función que da un número aleatorio que sigue una distribución uniforme.