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Pongo aquí lo que contenía el artículo "Teoría de los grupos", cuyo tema se confunde con "grupo". Si hay algo que rescatar y fusionar ... M.Romero Schmidtke 19:01 21 ago, 2004 (CEST)

La teoría de grupos estudia las propiedades de los grupos, y uno de sus objetivos fundamentales es la clasificación de éstos.

Un grupo es es un magma (i.e. un par (A,*), donde A es un conjunto no vacío y * una ley de composición interna, esto es *:A×A→A), verificando:

1. a*(b*c)=(a*b)*c para cualesquiera a,b,c de A (asociatividad)
2. En A existe un elemento denotado por 1 que cumple 1*a=a*1=a (elemento neutro)
3. Para todo a de A existe a´ tal que a*a´=a´*a=1 (elemento inverso)

Un grupo donde se verifique a*b=b*a se dice abeliano o conmutativo.

Ejemplos:

• (,+) es grupo abeliano. es el conjunto de los números reales y + la suma usual.
• (-{0},·) es grupo abeliano. (Notar que el cero no tiene inverso multiplicativo, por eso se lo excluye).
• (,+) es grupo.

Un grupo es finito o infinito si el conjunto es finito o infinito. En nuestro ejemplo, los formados con son infinitos y el formado con es finito.